《2025年初中毕业升学真题详解八年级数学上册北师大版陕西专版》

1. (5分) 在平面直角坐标系中,对于点$P(x_1,y_1)$,当点$Q(x_2,y_2)$满足$2(x_1 + x_2) = y_1 + y_2$时,称点$Q(x_2,y_2)$是点$P(x_1,y_1)$的“关联点”。已知点$P_1(1,2)$,若直线$y = x + 2$上的点$A$是点$P_1$的“关联点”,则点$A$的坐标为$(2,4)$。

答案： 选做题
1.$(2,4)$ [点拨]本题考查新定义的应用，涉及一次函数图象上点的坐标，理解新定义是解题的关键。
[解析]$\because$点$A$在直线$y = x + 2$上，令$A(m,m + 2)$。$\because$点$A$是点$P_{1}(1,2)$的“关联点”，$\therefore 2(m + 1)=m + 2 + 2$，解得$m = 2$，$\therefore$点$A$的坐标为$(2,4)$。故答案为$(2,4)$。

2. (5分) 在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$的三个顶点坐标分别为$A(0,3)$,$B(-3,2)$,$C(-2,1)$,若$P$是$y$轴上一动点,且$\triangle ABC$与$\triangle ABP$面积相等,则点$P$的坐标是$(0,\frac{13}{3})$或$(0,\frac{5}{3})$。

答案：
2.$(0,\frac{13}{3})$或$(0,\frac{5}{3})$ [点拨]本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握勾股定理的逆定理和三角形面积计算公式是解题的关键。
[解析]如图，过点$B$作$BD \perp y$轴交$y$轴于点$D$。$\because A(0,3)$，$B(-3,2)$，$C(-2,1)$，$\therefore AB^{2}=(-3 - 0)^{2}+(2 - 3)^{2}=10$，$BC^{2}=[-2-(-3)]^{2}+(1 - 2)^{2}=2$，

$AC^{2}=(-2 - 0)^{2}+(1 - 3)^{2}=8$，$\therefore AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$，$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC · AC=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2$。$\because \triangle ABC$与$\triangle ABP$面积相等，$\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AP · BD=\frac{1}{2}AP · 3 = 2$，$\therefore AP=\frac{4}{3}$。$\because 3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$，$3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$，$\therefore$点$P$坐标是$(0,\frac{13}{3})$或$(0,\frac{5}{3})$。故答案为$(0,\frac{13}{3})$或$(0,\frac{5}{3})$。

3. (5分) 直线$y = kx - k$与直线$y = 2x + 6$图象的交点在第一象限,则$k$的取值范围是$k ＜ - 6$或$k＞2$。

答案：
3.$k ＜ - 6$或$k＞2$ [点拨]本题考查两条直线相交或平行问题，掌握一次函数的性质，数形结合的思想是解答此题的关键。
[解析]由直线$y = 2x + 6$可知，直线经过第一、二、三象限，且与$y$轴的交点为$(0,6)$，由直线$y = kx - k$可知直线经过点$(1,0)$，

$\because$直线$y = kx - k$与直线$y = 2x + 6$交点在第一象限，由图象可知$-k＞6$或$k＞2$，$\therefore k ＜ - 6$或$k＞2$。故答案为$k ＜ - 6$或$k＞2$。

4. 右侧扫码·视频讲解 (5分) 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB = 90°$,$CD \perp AB$于点$D$,$E$是$\triangle BDC$内部一点,连接$AE$,$CE$,$DE$,若$DB = 5$,$DE = 3$,$\angle AED = 45°$,则$CE$的长是$\frac{\sqrt{82}-3\sqrt{2}}{2}$。

答案：
4.$\frac{\sqrt{82}-3\sqrt{2}}{2}$ [点拨]本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键。
[解析]过点$D$作$DF \perp AE$交$AE$于点$F$，$DH \perp AE$于点$H$，如图所示。

$\therefore \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CDE+\angle CDF = 90^{\circ}$。$\because$在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD \perp AB$，$DB = 5$，$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$，$DC = DA$，$AD = DB = 5$，$\therefore \angle ADC+\angle CDF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CDE=\angle ADF$。$\because \angle AED = 45^{\circ}$，$\angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形，$\therefore DE = DF$，在$\triangle CDE$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases} DE = DF \\ \angle CDE=\angle ADF \\ DC = DA \end{cases}$，$\therefore \triangle CDE \cong \triangle ADF(SAS)$，$\therefore CE = AF$，在$Rt \triangle DEF$中，$DE = DF = 3$，$\because DH \perp EF$，$\therefore DH = EH = FH=\frac{1}{2}EF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在$Rt \triangle ADH$中，$AD = 5$，$DH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，由勾股定理得$AH=\sqrt{AD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{5^{2}-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{82}}{2}$，$\therefore AF = AH - FH=\frac{\sqrt{82}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{82}-3\sqrt{2}}{2}$，$\therefore CE = AF=\frac{\sqrt{82}-3\sqrt{2}}{2}$。故答案为$\frac{\sqrt{82}-3\sqrt{2}}{2}$。