《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

3. （多选）一个弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，以下说法正确的是（ ）。

A.小球在运动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相同
B.小球从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功
C.小球在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和小球的重力的合力提供
D.小球在运动过程中，系统的机械能一定守恒

答案： 3.CD
[解析]小球在运动中，经过关于平衡位置对称的两点时，其速度可能是相同的，此时弹簧的长度并不相同，选项A错误；从最低点向平衡位置运动时，小球在弹簧弹力的作用下加速，弹簧弹力做正功，选项B错误；回复力由重力和弹力共同提供，选项C正确；由于系统内只有重力和弹力做功，机械能守恒，选项D正确。

4. 如图 2.3 - 6 所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物体束缚在光滑水平面上。已知甲的质量大于乙的质量，当细线突然断开后，两物体同时开始做简谐运动，在运动过程中（ ）。

A.甲的振幅大于乙的振幅
B.甲的振幅小于乙的振幅
C.甲的最大速度小于乙的最大速度
D.甲的最大速度大于乙的最大速度

答案： 4.C
[解析]由题意知，在细线未断之前两个弹簧所受到的弹力大小相等，可知两弹簧形变量相同，所以当细线断开后，甲、乙两个物体所做的简谐运动振幅是相等的，选项A、B错误；两物体在平衡位置时的速度最大，此时物体的动能等于物体刚释放时弹簧的弹性势能，所以甲、乙两个物体的最大动能是相等的，则质量大的物体速度小，故选C。

5. 如图 2.3 - 7 所示，一轻质弹簧一端连接一质量为 $ m $ 的刚性光滑小球，另一端固定于倾角为 $ \theta $ 的光滑斜面顶端的挡板上，挡板垂直于斜面。试证明刚性光滑小球的运动为简谐运动。

答案： 5.设弹簧原长为$l_0$，当弹簧长度为$l_1$时处于平衡位置$O$，规定沿斜面向上为正方向，此时$k(l_1-l_0)-mg\sin\theta=0$。当小球运动通过$O$点向上到达距$O$点为$x$处时，所受到的力为$F_合=k(l_1-l_0-x)-mg\sin\theta=k(l_1-l_0)-kx-mg\sin\theta$，解得$F_合=-kx$，即小球的运动是简谐运动。
方法总结
判断物体的运动是否为简谐运动的方法
找出质点运动方向上的合力与位移关系，若满足$F=-kx$，可判断该运动是简谐运动，其步骤如下。
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在运动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对运动物体进行受力分析。
(3)求出运动方向上的合力。
(4)判定运动方向上合力与位移关系是否符合$F=-kx$。若符合，则为简谐运动；反之则不是简谐运动。

6. 在平面直角坐标系上描绘弹簧振子在做简谐运动过程中，各物理量随位移变化的关系图像。已知弹簧的弹性势能 $ E _ { \mathrm { p } } = \frac { 1 } { 2 } k x ^ { 2 } $，弹簧振子的周期 $ T = 2 \pi \sqrt { \frac { m } { k } } $，$ m $ 为小球的质量，$ k $ 为弹簧的颈度系数。

答案：
6.如答图2.3-1所示。

[解析]简谐运动中，设$x=A\sin(\omega t+\varphi)$，则$v=\omega A\cos(\omega t+\varphi)$，由于$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$，$\omega=\frac{2\pi}{T}$，得$k=m\omega^2$，由能量守恒定律得$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t+\varphi)+\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\varphi)$，整理可得$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2$，由数学知识知$v-x$图像是椭圆；回复力为$F=-kx$，由数学知识知$F-x$图像为直线；由牛顿第二定律，加速度为$a=-\frac{kx}{m}$，故$a-x$图像为直线；势能$E_p=\frac{1}{2}kx^2$，由数学知识知$E_p-x$图像为抛物线；动能为$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kA^2-\frac{1}{2}kx^2$，故$E_k-x$图像为抛物线。
思路点拨
简谐运动中，位移、速度、回复力、加速度、动能、势能等均随时间发生周期性变化，本题要注意位移是有变化范围的，所以这些物理量也在一定范围内按一定规律变化，写出表达式，结合数学知识画出图像。

7. 如图 2.3 - 8 所示，质量为 $ m $ 的小球悬挂在劲度系数为 $ k $ 的轻质弹簧上，使小球在竖直方向上下振动，而弹簧又始终不被压缩。重力加速度为 $ g $，求：
(1) 小球振动的最大振幅 $ A _ { \mathrm { m } } $；
(2) 弹簧对小球的最大弹力 $ F _ { \mathrm { m } } $。

答案： 7.
(1)$\frac{mg}{k}$
(2)$2mg$
[解析]
(1)设在平衡位置处，弹簧的伸长量为$x_0$，满足$kx_0=mg$。由于小球始终不压缩弹簧，因此振幅最大时，振动的最高点即为弹簧恢复到原长的位置，则最大振幅$A_m=x_0$，即$A_m=\frac{mg}{k}$。
(2)小球在最高点和最低点时所受回复力等大反向，在最高点仅受重力，所以小球在最低点所受回复力大小等于重力，因此$F_m-mg=mg$，则$F_m=2mg$。