《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

3. 已知在单摆A完成10次全振动的时间内，单摆B完成6次全振动。两摆摆长之差为1.6 m，则摆长$l_A$与$l_B$分别为多少？

答案： 3. $0.9\ m;2.5\ m$
【解析】单摆$A$与单摆$B$的周期之比$T_A:T_B = 3:5$，由单摆周期公式知$\sqrt{\frac{l_A}{l_B}} = \frac{3}{5}$，又因为$l_B - l_A = 1.6\ m$，联立两式解得$l_A = 0.9\ m,l_B = 2.5\ m$。

4. 图2.4-5甲是一个沙摆装置，图2.4-5乙是在木板上留下的实验结果。沙摆的运动可看作简谐运动。若手拉木板的速度是0.20 m/s，木板的长度是0.60 m(近似取$\pi^2 = g$)，则该沙摆的周期和摆长分别为多少？
图2.4-5

答案： 4. $1.5\ s;0.56\ m$
【解析】沙摆共振动了两个周期，拉出木板所用时间$t = \frac{x}{v} = \frac{0.60\ m}{0.20\ m/s} = 3\ s$，
则单摆周期$T = \frac{t}{2} = 1.5\ s$。
单摆周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，则$l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$，代入数据，得$l = 0.56\ m$。

5. 如图2.4-6所示，三根细线在$O$点处打结，$A$、$B$端固定在同一水平面上相距为$l$的两点上，使$\triangle AOB$成直角三角形，已知$\angle BAO = 30°$，$OC$线长是$l$，下端$C$点系着一个小球，下列说法正确的是(以下摆动皆指小角度摆动)( )。
图2.4-6

A.让小球在纸面内摆动，周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
B.让小球垂直纸面摆动，周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{3l}{2g}}$
C.让小球在纸面内摆动，周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{3l}{2g}}$
D.让小球垂直纸面摆动，周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

答案： 5. A
【解析】让小球在纸面内摆动，偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为$l$，则周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$；让小球垂直纸面摆动，偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为$(\frac{\sqrt{3}}{4} + 1)l$，则周期$T' = 2\pi\sqrt{\frac{(\frac{\sqrt{3}}{4} + 1)l}{g}}$。

6. 周期等于2 s的摆称为秒摆。将地球上的一个秒摆移至月球上，它的周期变为多少？已知地球的质量$m_{地} = 5.98 × 10^{24}$ kg，半径$r_{地} = 6.4 × 10^{6}$ m，月球的质量$m_{月} = 7.34 × 10^{22}$ kg，半径$r_{月} = 1.74 × 10^{6}$ m。

答案： 6. $4.9\ s$
【解析】对地球表面一物体分析，由万有引力定律知重力$\frac{Gm_{地}m}{r_{地}^2} = mg_{地}$，得$g_{地} = \frac{Gm_{地}}{r_{地}^2}$，同理$g_{月} = \frac{Gm_{月}}{r_{月}^2}$，$\frac{g_{月}}{g_{地}} = 0.166$。单摆周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，则$\frac{T_{月}}{T_{地}} = \sqrt{\frac{g_{地}}{g_{月}}}$，由于$T_{地} = 2\ s$，代入数据，得$T_{月} = 4.9\ s$。