《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

3. 如图2.4-12所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是$R$，所对圆心角小于$5°$，现在圆弧形槽的右侧边缘$M$处放一个小球A，使其由静止下滑，重力加速度为$g$。
图2.4-12
(1) 小球A由$M$点运动至$O$点的过程中所需时间$t$为多少？
(2) 若在$MN$圆弧上存在两点$P$、$Q$，且$P$、$Q$关于$O$点对称，已测得小球A由$P$点直达$Q$点所需时间为$\Delta t$，则小球A由$Q$点至$N$点的最短时间为多少？
(3) 若在圆弧最低点$O$的正上方$h$处由静止释放小球B，让其自由下落，同时小球A从圆弧右侧由静止释放，欲使A、B两球在圆弧最低点$O$处相遇，则小球B下落的高度$h$是多少？

答案： 3.
(1)$\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$
(2)$\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R}{g}} - \frac{1}{2}\Delta t$
(3)$h = \frac{(2n + 1)^2\pi^2}{8}R(n = 0,1,2,3,·s)$
【解析】
(1)由单摆周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，可知小球$A$的运动周期$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$，所以$t_{MO} = \frac{1}{4}T = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$。
(2)由对称性可知$t_{OQ} = \frac{1}{2}\Delta t$，$t_{OQ} + t_{QN} = \frac{1}{4}T$，代入数据，解得小球$A$由$Q$点至$N$点的最短时间$t_{QN} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R}{g}} - \frac{1}{2}\Delta t$。
(3)欲使$A$、$B$两球相遇，则它们的运动时间相同，且必须同时到达$O$点，小球$A$到$O$点的时间可以是$\frac{1}{4}T$，也可以是$\frac{3}{4}T$，等等。故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历的时间可以是$(\frac{1}{4} + n)T$或$(\frac{3}{4} + n)T(n = 0,1,2,3,·s)$，所以小球$A$运动的时间必为$\frac{1}{4}T$的奇数倍，即$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}(2n + 1)$。因此，$h = \frac{(2n + 1)^2\pi^2}{8}R(n = 0,1,2,3,·s)$。