《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

8. 将一单摆装置竖直挂于某一深度 $ h $ 未知且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图 2.5 - 6 甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁。如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离为 $ l $，并通过改变 $ l $ 而测出对应的周期 $ T $，再以 $ T^{2} $ 为纵轴、$ l $ 为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度 $ h $ 和当地的重力加速度 $ g $。
(1) 利用单摆测重力加速度时，为了减小误差，我们利用停表来测量单摆多次全振动的时间，从而求出振动周期。除了停表，还需要的测量工具为______。
A. 天平 B. 毫米刻度尺 C. 螺旋测微器
(2) 如图 2.5 - 6 乙所示，作出了多条 $ T^{2} - l $ 关系图像，那么实验中所得到的真正的图像应是 $ a $、$ b $、$ c $ 中的______。
(3) 由图像计算可知，小筒的深度 $ h = $______ $ m $，当地的重力加速度 $ g = $______ $ m/s^{2} $。

答案： 8.
(1)B　
(2)a　
(3)0.3；9.86(9.87也正确)
[解析]
(1)本实验除通过测量时间求出周期，还需要测量筒的下端口到摆球球心的距离$l$，则所需的测量工具是毫米刻度尺，故选B。
(2)由单摆周期公式得$T = 2\pi\sqrt{\frac{l + h}{g}}$，得$T^{2} = \frac{4\pi^{2}(l + h)}{g}$，当$l = 0$时，$T^{2} = \frac{4\pi^{2}h}{g} ＞ 0$，则实验得到的图像应是a。
(3)由上述分析可知，当$T^{2} = 0$时，$l = -h$，即图像与$l$轴交点的横坐标，故$h = -l = 30cm = 0.3m$，图线的斜率大小为$k = \frac{4\pi^{2}}{g}$，由题图乙并结合数学知识得到$k = 4s^{2}/m$，解得$g = \pi^{2}m/s^{2} = 9.86m/s^{2}$。

1. 一同学在半径为 $ 2m $ 的光滑圆弧面上做“测量重力加速度”的实验（图 2.5 - 7 甲）。他用一个直径为 $ 2cm $、质量分布均匀的光滑实心球，操作步骤如下。
①将小球从槽中接近最低处（虚线）静止释放；
②测量多次全振动的时间并准确求出周期；
③将圆弧面半径和周期代入单摆周期公式求出重力加速度。
(1) 他在以上操作中应该改正的操作步骤是______（填写步骤序号）。若不改正，测量所得的重力加速度的值与真实值相比会______（填“偏大”或“偏小”）。
(2) 一组同学选择几个半径 $ r $ 不同的均匀光滑实心球进行了正确实验，他们将测出的周期与小球半径 $ r $ 的关系画成了如图 2.5 - 7 乙所示的 $ r - \frac{T^{2}}{4\pi^{2}} $ 图像。请你根据该图写出重力加速度的表达式 $ g = $______。

答案： 1.
(1)③；偏大　
(2)$\frac{b}{a}$
[解析]
(1)步骤③中，实际摆长是悬点到球心的距离，故计算摆长时应该用圆弧面半径$R$减去实心球的半径$r$。根据单摆周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，实际摆球摆动过程中，摆长测量值偏大，故重力加速度的测量值也偏大。
(2)根据单摆周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，有$T = 2\pi\sqrt{\frac{R - r}{g}}$，变形得到$r = - \frac{T^{2}}{4\pi^{2}}g + R$。由$r - \frac{T^{2}}{4\pi^{2}}$关系图线是直线，结合表达式可知其斜率为$-g$，故斜率的绝对值表示重力加速度$g$，即$g = \frac{b}{a}$。

2. 一端固定在房顶的细线垂到三楼窗沿下，某同学为了测量窗上沿到房顶的高度，在线的下端系了一个小球，发现当小球静止时，细线保持竖直且恰好与窗上沿接触。打开窗子，让小球在垂直于窗口的竖直平面内摆动，如图 2.5 - 8 所示。
(1) 为了测小球摆动的周期，他打开手机里的计时器，在某次小球从窗外向内运动到达最低点时数 $ 1 $，同时开始计时，随后每次小球从外向内运动到最低点依次数 $ 2 $、$ 3 $、$ 4·s·s $，数到 $ n $ 时，手机上显示的时间为 $ t $，则小球摆动的周期 $ T $ 为______。
(2) 该同学用钢卷尺测量出小球球心到窗上沿的距离为 $ 50cm $，又测出小球摆动的周期是 $ 4.5s $。已知当地的重力加速度为 $ 9.8m/s^{2} $，则窗的上沿到房顶的高度约为______ $ m $。

答案： 2.
(1)$\frac{t}{n - 1}$　
(2)13.8
[解析]
(1)从小球第1次通过题图中的最低点开始计时，到第$n$次通过最低点用时$t$，故周期为$T = \frac{t}{n - 1}$。
(2)小摆的周期为$T_{1} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，大摆的周期为$T_{2} = 2\pi\sqrt{\frac{l + h}{g}}$，则有$T = \frac{1}{2}(T_{1} + T_{2})$。联立以上各式，解得$h = \frac{gT^{2} - 2\pi T\sqrt{gl}}{\pi^{2}} = 13.8m$。