《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

5. 某同学在做“用单摆测量重力加速度”的实验中，在测摆长时，发现身边只有一把米尺而没有游标卡尺。他思考片刻后，先测出了悬挂点到摆球最上端的距离 $ l_{1} $，再测出了悬挂点到摆球最下端的距离 $ l_{2} $，然后代入 $ l = \frac{l_{1} + l_{2}}{2} $ 中求出 $ l $，他认为 $ l $ 就是该单摆的摆长。请问他的方法是否正确？为什么？

答案： 5.正确。理由见解析
[解析]设小球半径为$r$，由题意知，$l_{2} = l_{1} + 2r$，故$l = \frac{l_{1} + l_{2}}{2} = \frac{l_{1} + (l_{1} + 2r)}{2} = l_{1} + r$，即$l$是单摆的摆长。

6. 某同学在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，测量了 $ 5 $ 种不同摆长情况下单摆的周期，记录数据如下。
该同学决定用作图法处理数据得出重力加速度的具体数值。
(1) 请根据作图需要，完成上述表格；
(2) 直角坐标系中的纵轴与横轴分别代表什么物理量？请根据以上数据在图 2.5 - 5 中画出需要的图像；
(3) 根据图像求出斜率；
(4) 求出重力加速度的数值。

答案：
6.
(1)表格最后一行如下。
周期的二次方$T^{2}/s^{2}$ 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84
(2)纵轴代表$T^{2}$，横轴代表$l$；如答图2.5 - 1所示。

(3)$4.00s^{2}·m^{-1}$　
(4)$9.86m/s^{2}$
[解析]
(1)
(2)由单摆周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$得$T^{2} = \frac{4\pi^{2}l}{g}$，$T^{2}-l$图像是直线。因此纵轴表示周期的平方$T^{2}$，横轴表示摆长$l$。
(3)
(4)由$T^{2} = \frac{4\pi^{2}l}{g}$可知，$T^{2}-l$图像的斜率$k = \frac{4\pi^{2}}{g} = 4.00s^{2}·m^{-1}$，得$g = \frac{4\pi^{2}}{k} = 9.86m/s^{2}$。
方法总结
用图像法处理实验数据的技巧
用图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。由于$T - l$图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用$T^{2}-l$的图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。

7. 关于“用单摆测量重力加速度”的实验，请分析以下操作对 $ g $ 值最终结果的影响是偏大、偏小还是无影响。
(1) 摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了；
(2) 以摆线长作为摆长来计算；
(3) 开始计时时，停表过早按下；
(4) 实验中误将 $ 49 $ 次全振动记为 $ 50 $ 次。

答案： 7.
(1)摆线实际变长，导致摆长测量值偏小，故$g$值偏小。
(2)少测了摆球半径，导致摆长测量值偏小，故$g$值偏小。
(3)停表过早按下，导致周期测量值偏大，故$g$值偏小。
(4)多数了全振动的次数，导致周期测量值变小，故$g$值偏大。
[解析]由$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$可知，若摆长$l$测量值偏大，则会导致$g$值偏大；反之，则会导致$g$值偏小。若周期$T$测量值偏大，则会导致$g$值偏小；反之，则会导致$g$值偏大。若操作不影响$l$与$T$的测量，则对$g$值无影响。