《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

10. 将一个力传感器连接到计算机上可以测量快速变化的力。图2.4-10甲中$O$点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视作质点)拉至$A$点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的$A$、$C$两点之间来回摆动，其中$B$点为运动中的最低位置。$\angle AOB = \angle COB = \theta$，$\theta$小于$5°$。图2.4-10乙是由计算机得到的细线对摆球的拉力大小$F$随时间$t$变化的曲线，且图中$t = 0$时刻为摆球从$A$点开始运动的时刻。重力加速度$g$取10 m/s²，试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息解答下列问题。
(1) 单摆的周期$T$和摆长$l$是多少？
(2) 摆球的质量$m$是多少？
(3) 摆球运动过程中的最大速度$v_m$是多少？
图2.4-10

答案： 10.
(1)$0.4\pi\ s;0.4\ m$
(2)$0.05\ kg$
(3)$0.283\ m/s$
【解析】
(1)摆球在一个周期内两次经过最低点，根据题图乙可知，$T = 0.4\pi\ s$
由单摆的周期公式$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$代入数据解得$l = 0.4\ m$。
(2)
(3)在最高点$A$，有$F_{min} = mg\cos\theta = 0.495\ N$
在最低点$B$，有$F_{max} = mg + m\frac{v_m^2}{L} = 0.510\ N$
从$A$到$B$，由机械能守恒定律得$mgR(1 - \cos\theta) = \frac{1}{2}mv^2$
联立解得$m = 0.05\ kg$，$v_m = \frac{\sqrt{2}}{5}\ m/s \approx 0.283\ m/s$。
方法总结
单摆的受力特点和运动特点
(1) 受力特点：在最高点，向心力为$0$，回复力最大；在平衡位置，向心力最大，回复力为$0$。
(2) 运动特点：单摆在平衡位置两侧做简谐运动，位移、受力等具有对称性。

1. 某物理兴趣小组根据单摆的等时性设计并制作了一座走时准确的摆钟，其核心装置为一摆长为$l$的单摆。已知重力加速度为$g$，在下列情况下，该单摆走时是偏慢还是偏快？该如何调整摆长才能让它重新变准确？
(1) 把该摆钟放入加速度$a = g$的匀加速竖直上升的电梯中；
(2) 把该摆钟放在月球上。(已知月球表面的重力加速度为地球表面的$\frac{1}{6}$)

答案：
1.
(1)当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球受到的拉力为$F$，如答图2.4-1所示。由牛顿第二定律可得$F - mg = ma$，即$F = m(g + a)$。设等效重力加速度为$g'$，由$F = mg'$，解得$g' = g + a = 2g$。故单摆周期$T' = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$。

由上式可知，单摆的周期变短，导致摆钟走时变快。可以把摆长调整为原来的$2$倍，让周期与原来相同，此时摆钟将重新变准确。
(2) 由题意可知，该摆钟在月球表面的周期$T'' = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi\sqrt{\frac{6l}{g}}$，周期变长，导致摆钟走时变慢。可以把摆长调整为原来的$\frac{1}{6}$，让周期与原来相同，此时摆钟将重新变准确。

2. 如图2.4-11所示，用很长的细线系一个小球A做成一个单摆。在其悬点$O$处还固定有一根很长的细绳，细绳上穿有一个小球B，且小球B能沿细绳下滑。现将小球A拉离平衡位置一个很小的角度，小球B静止在$O$点处，然后同时释放。若小球A第一次摆到最低点时正好和小球B相遇，则小球B与绳子之间的摩擦力$F_f$和小球B的重力$G$之比为多少？($\pi^2$取10，$g$取10 m/s²)
图2.4-11

答案： 2. $1:5$
【解析】小球$A$是单摆模型，根据周期公式，它第一次摆到最低点用的时间为$t_A = \frac{1}{4}T = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$。对小球$B$，根据牛顿第二定律，有$mg - F_t = ma$。根据运动学公式，有$l = \frac{1}{2}at_B^2$。两球运动时间相等，$t_A = t_B$，可联立解得$F_t = 0.2mg$，则小球$B$与绳子之间的摩擦力$F_t$和小球$B$的重力$G$之比为$1:5$。