《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

例题 2 某同学在家做“用单摆测量重力加速度”的实验。因为一时找不到摆球，于是他用一石块代替摆球，用缝衣服的细线作为摆线并正确安装实验装置。因为无法知道石块重心的位置，所以该同学只测量了摆线的长度 $ l_{0} $ 和相对应的周期 $ T $，并计算出 $ T^{2} $ 的数值。改变摆线的长度，测量了多组数据。该同学以摆线的长度 $ l_{0} $ 为纵坐标、周期的二次方 $ T^{2} $ 为横坐标，根据所测的数据作出了如图 2.5 - 1 所示的 $ l_{0} - T^{2} $ 图像。若该同学测量与计算的数据无误，作图也很准确，请你回答以下问题。
(1) 若根据该图像算出其斜率为 $ k $，是否能求出重力加速度的值？若不能，请说明理由；若能，请写出重力加速度的表达式。
(2) 图像纵轴截距的绝对值 $ b $ 有何物理意义？

答案： 解析
(1) 由单摆摆长与周期的关系 $ l = \frac{g}{4\pi^{2}}T^{2} $，可知 $ l - T^{2} $ 图像应该是一条过原点的倾斜直线。而本题的图像不过原点，与理想的单摆图像有点不同，因此，可以通过分析图像不过原点的原因来寻找解题思路。
由题意可知，题中图像的纵坐标所代表的不是摆长 $ l $，而是摆线的长度 $ l_{0} $。设石块重心到摆线下端的距离为 $ r $，则 $ l = l_{0} + r $，代入 $ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $，可得 $ l_{0} = \frac{g}{4\pi^{2}}T^{2} - r $。由此可知，$ l_{0} $ 与 $ T^{2} $ 为一次函数关系，其图像为不过原点的一条倾斜直线，其斜率 $ k $ 所表示的物理量为 $ \frac{g}{4\pi^{2}} $。由 $ k = \frac{g}{4\pi^{2}} $，得 $ g = 4\pi^{2}k $。这就是说，即使因摆球重心的位置不确定会带来摆长的测量误差，但只要“摆长改变量”的测量是准确的，仍然可以根据实验的 $ l_{0} - T^{2} $ 图像斜率准确测得重力加速度的值。
(2) 由上述分析可知 $ b = r $，即 $ l_{0} - T^{2} $ 图像纵轴截距的绝对值 $ b $ 表示石块重心到摆线下端的距离。

1. 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，有如下器材可供选用，请把每一类器材中应使用的选出来，并简要说明道理。
(1) 摆线选择（ ）。
A. $ 1m $ 长的粗绳 B. $ 1m $ 长的细线
(2) 摆球选择（ ）。
C. 半径为 $ 1cm $ 的小木球 D. 半径为 $ 1cm $ 的小铅球
(3) 计时器材选择（ ）。
E. 时钟 F. 停表
(4) 长度测量器材选择（ ）。
G. 最小刻度为 $ 1mm $ 的米尺 H. 最小刻度为 $ 1cm $ 的米尺 I. 游标卡尺
(5) 其他还需选择（ ）。
J. 铁架台 K. 附砝码的天平

答案： 1.
(1)B　
(2)D　
(3)F　
(4)G　I　
(5)J;说明见解析
[解析]
(1)在单摆的理想化模型中，摆线质量应不计。因此，在实际实验中，需要满足摆线质量远小于摆球质量的条件，相对于粗绳，细线的质量更小。
(2)相对于小木球，小铅球在摆动时受空气阻力更小，其运动更接近简谐运动。
(3)计时时，使用停表更方便，也更精确。
(4)测摆线长度需要米尺，最小刻度越小，测量越精确，因此选器材G;测摆球直径需要用游标卡尺，因此选器材I。
(5)本实验中不需要测量质量，但必须将小球悬挂，故选器材J。