《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

例题1 以下有关单摆运动的说法正确的是（ ）。

A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C.单摆经过平衡位置时合力为$0$
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

答案： B

例题2 如图2.4-2所示，一个上表面为光滑圆弧的圆槽固定在地面上，其圆心为$O$，圆弧的最低点为$P$。把一光滑小球（可视为质点）从距$P$点很近的$A$点由静止释放，试简要分析光滑小球其后的运动是否可以等效视作一个单摆。

答案： 对小球受力分析：受重力$mg$、支持力$F_N$。
将重力沿圆弧切向和径向分解，切向分力为回复力，方向指向平衡位置$P$，大小$F=-mg\sin\theta$（负号表示方向与位移相反）。
因小球从距$P$很近的$A$点释放，$\theta$很小，由小角度近似$\sin\theta\approx\theta=\frac{x}{R}$（$x$为小球偏离$P$的位移，$R$为圆弧半径，即小球球心到$O$的距离）。
则回复力$F=-mg·\frac{x}{R}=-\frac{mg}{R}x$，满足简谐运动回复力公式$F=-kx$（其中$k=\frac{mg}{R}$为常数）。
故小球运动可等效视作摆长为$R$的单摆。

例题3 细长轻绳下端系上一个小球构成单摆。在悬挂点下方$\frac{1}{2}$摆长处有一个能挡住摆线的光滑钉子A，如图2.4-4所示。现将单摆向左方拉开一个很小的角度，然后无初速度释放。请回答下列问题，并简要说明理由。
(1) 摆球运动的周期相比没有钉子时有什么变化？
(2) 摆球在左右两侧上升的最大高度有什么变化？
(3) 摆球在左右两侧的最大摆角有什么变化？

答案：
(1)周期变小。无钉子时周期$T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$；有钉子时，摆长分别为$l$和$\frac{l}{2}$，周期$T=\frac{1}{2}×2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}+\frac{1}{2}×2\pi\sqrt{\frac{l/2}{g}}=\pi\sqrt{\frac{l}{g}}+\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}=T_0\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$，因$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}＜1$，故$T＜T_0$。
(2)最大高度相同。摆线拉力不做功，机械能守恒，$mgh_{左}=mgh_{右}$，则$h_{左}=h_{右}$。
(3)右侧最大摆角大于左侧。由$h=l(1-\cos\theta_{左})=\frac{l}{2}(1-\cos\theta_{右})$，得$1-\cos\theta_{右}=2(1-\cos\theta_{左})$。因摆角小，$\cos\theta\approx1-\frac{\theta^2}{2}$，故$\theta_{右}^2=2\theta_{左}^2$，$\theta_{右}=\sqrt{2}\theta_{左}＞\theta_{左}$。