《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

4. 如图 4.1 - 21 所示，半圆玻璃砖的半径 $ R = 10 \, cm $，折射率 $ n = \sqrt{3} $，直径 $ AB $ 与水平屏幕 $ MN $ 垂直并接触于 $ A $ 点。一束激光以入射角 $ \theta = 30° $ 射向半圆玻璃砖的圆心 $ O $，结果在屏幕 $ MN $ 上出现两个光斑。请画出光路图，并求两个光斑之间的距离 $ d $。

答案：
4. 见答图4.1-7；$23.1 cm$
【解析】画出如答图4.1-7所示的光路图，设折射角为$\alpha$，两个光斑分别是折射和反射形成的。根据折射定律有$n = \frac{\sin\alpha}{\sin\theta}$，可解得$\alpha = 60°$。
根据反射定律可知反射角等于入射角，由几何关系得$\triangle OPQ$为直角三角形，所以两个光斑$P$、$Q$之间的距离$d = PA + AQ = R\tan 30° + R\tan 60°$，解得$d = \frac{40\sqrt{3}}{3} cm \approx 23.1 cm$。

5. 一半圆形玻璃砖，玻璃的折射率为 $ \sqrt{3} $， $ AB $ 为其直径，长度为 $ d $， $ O $ 为圆心，一束宽度恰等于玻璃砖半径的单色平行光束垂直于 $ AB $ 从空气射入玻璃砖，其中心光线 $ P $ 通过 $ O $ 点，如图 4.1 - 22 所示， $ M $、 $ N $ 为光束边界光线。求 $ M $、 $ N $ 射出玻璃砖后的相交点距 $ O $ 点的距离。

答案：
5. $\frac{\sqrt{3}}{2}d$
【解析】作出光路图如答图4.1-8所示。
由$\sin\theta_2 = \frac{d}{2d} = \frac{1}{2}$，得$\theta_2 = 30°$。
由折射定律$n = \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}$，得$\sin\theta_1 = n\sin\theta_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\theta_1 = 60°$。
由几何知识，得$\alpha = \theta_2$，$\theta = \theta_1 - \alpha = 60° - 30° = 30°$。
故$OC = 2 × \frac{d}{4} \cot\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}d$。