《2025年人教金学典同步解析与测评高中物理选择性必修第一册人教版》

8. 如图 1.6 - 6 所示，一质量为 $m_0$ 的玩具蛙蹲在质量为 $m$ 的小车的细杆上，小车静止在光滑的水平面上。若车长为 $l$，细杆高为 $h$ 且位于小车的中央，试问玩具蛙对地最小以多大的水平速度跳出才能落到地面上？（重力加速度为 $g$，车面高度忽略不计）

答案： 8.$\frac{ml}{2(m + m_0)}\sqrt{\frac{g}{2h}}$
[解析]玩具蛙和小车组成的系统水平方向动量守恒，则$mv'-m_0v = 0$。玩具蛙下落的时间$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$。若玩具蛙恰好落地，则有$v't + vt=\frac{l}{2}$，解得$v=\frac{ml}{2(m + m_0)}\sqrt{\frac{g}{2h}}$。

1. 某校课外科技小组制作了一支“水火箭”，用压缩空气压出水流使火箭模型运动。假如喷出的水流流量保持为 $2×10^{-4}\ m^3/s$，喷出速度保持水平且对地为 $10\ m/s$，启动前火箭模型的总质量为 $1.4\ kg$，则启动 $2\ s$ 末火箭模型的速度可以达到多少？已知火箭模型沿水平轨道运动，阻力不计，水的密度是 $1.0×10^3\ kg/m^3$。

答案： 1.4m/s
[解析]设火箭模型原来的总质量为$m$，喷出水流的流量为Q，水的密度为$\rho$，水流的喷出速度为$v$，火箭模型的反冲速度为$v'$，由动量守恒定律有$(m - \rho Qt)v'=\rho Qtv$。则火箭模型启动后2s末的速度为$v'=\frac{\rho Qtv}{m - \rho Qt}=\frac{1.0×10^3×2×10^{-4}×2×10}{1.4 - 1.0×10^3×2×10^{-4}×2}m/s = 4m/s$。

2. 假设一门火炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量 $m_0 = 6.0\ kg$（内含炸药的质量可以忽略不计），射出的初速度 $v_0 = 60\ m/s$。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片的质量为 $m = 4.0\ kg$，现要求这一片不能落到以发射点为圆心、半径 $R = 600\ m$ 的圆周内，则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？（$g$ 取 $10\ m/s^2$，空气阻力不计）

答案： 2.6.0×10⁴J
[解析]设炮弹上升到达最高点时的高度为H，根据匀变速直线运动规律，有$v_0^2 = 2gH$。设质量为$m$的弹片爆炸后瞬间的速度为$v_1$，另一片的速度为$v_2$，根据动量守恒定律，有$mv_1-(m_0 - m)v_2 = 0$。设质量为$m$的弹片运动的时间为$t$，根据平抛运动规律，有$H=\frac{1}{2}gt^2$，$R = v_1t$。炮弹刚爆炸后，两弹片的总动能$E_k=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}(m_0 - m)v_2^2$。联立以上各式，解得$E_k=\frac{1}{2}·\frac{m_0mR^2g^2}{(m_0 - m)v_0^6}$，代入数据，解得$E_k = 6.0×10^4J$，则总动能至少为$6.0×10^4J$。