《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册人教版》

2. 利用因式分解进行简便计算：$ 80×3.5^{2}+160×3.5×1.5 + 80×1.5^{2} $.

答案： 2000

3. 已知$ a^{2}+b^{2}-4a + 6b + 13 = 0 $,求$ a + b $的值.

答案： 由$a^2+b^2-4a+6b+13=0$,得$(a-2)^2+(b+3)^2=0$,$\therefore a=2$,$b=-3$,$\therefore a+b=-1$.

4. 数学活动.
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也被称作富比尼原理,是一种重要的数学思想. 例如：对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.
计算如图1的面积,把图1看作一个大正方形,它的面积是$ (a + b)^{2} $；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的,它的面积为$ a^{2}+2ab + b^{2} $,由此得到$ (a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2} $.

请利用上述数学思想解决下列问题：
(1)如图2,正方形$ ABCD 是由四个边长分别为 a,b $的长方形和中间一个小正方形组成的,用不同的方法对图2的面积进行计算,你发现的等式是______(用$ a,b $表示)；
(2)如图3,四个三角形都是全等的直角三角形,用不同的代数式表示大正方形的面积,由此得到的等式为______(用$ a,b,c $表示)；
(3)请进一步化简(2)题的等式,你发现直角三角形三边之间存在的关系了吗？如果直角三角形的两条直角边长分别为$ a,b $,斜边为$ c $,你发现的等式为______(用$ a,b,c $表示).

答案：
(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)$c^2=2ab+(a-b)^2$
(3)$a^2+b^2=c^2$