《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册人教版》

2. 化简并求值：$ab - (2a + b)(a - 2b) - a(-a + b)$,其中$a = -1$,$b = \dfrac{1}{2}$。

答案： 原式$=-a^{2}+3ab+2b^{2}$,其值为$-2$

3. 已知甲、乙两张长方形纸片,其边长如图所示$(m ＞ 0)$,面积分别为$S_{甲}和S_{乙}$：
(1)①用含$m$的代数式表示：$S_{甲} = $ ,$S_{乙} = $ ；
②用“$＜$”“$=$”或“$＞$”填空：$S_{甲}$ $S_{乙}$；
(2)若一张正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等,其面积设为$S_{正}$。
①该正方形纸片的边长是 (用含$m$的代数式表示)；
②小方同学发现$S_{正}与S_{乙}$的差是定值,请判断小方同学的发现是否正确,并通过计算说明你的理由。

答案：
(1)①$m^{2}+12m+27$,$m^{2}+10m+24$ ②$＞$
(2)①$m+5$ ②正确. 理由:$S_{正}-S_{乙}=(m+5)^{2}-(m^{2}+10m+24)=m^{2}+10m+25-m^{2}-10m-24=1$,所以$S_{正}$与$S_{乙}$的差为定值,即小方同学的发现是正确的.

4. 观察下列等式：
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$,$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$,$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$,…$$。
(1)根据上述规律可得$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1) = $ $(n为整数)$；
(2)利用上述规律求$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{63}$的值。

答案：
(1)$x^{n+1}-1$
(2)$2^{64}-1$