《2025年新课程课堂同步练习册八年级数学上册人教版》

2. 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图 8 - 1,将军从山脚下的点 $ A $ 出发,到达河岸点 $ C $ 饮马后再回到点 $ B $ 宿营,他时常想,怎么走,才能使他每天走的路程之和最短呢？
【解决问题】
(1)标出“提出问题”中 $ C $ 点的位置；(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)为了说明(1)中点 $ C $ 的位置即为所求,某学习小组经探究发现,在直线上另外取点 $ C' $,连接 $ AC' $,$ BC' $,$ B'C' $,说明 $ AC + BC ＜ AC' + BC' $ 即可,请你借助(1)中所作的图形说明；
【类比探究】
(3)如图 8 - 2,将军牵马从军营 $ P $ 处出发,到河流 $ OA $ 饮马,再到草地 $ OB $ 吃草,最后回到 $ P $ 处,试分别在边 $ OA $ 和 $ OB $ 上各找一点 $ E $,$ F $,使得走过的路程最短。(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路径用实线)

答案：

(1)如图4所示,点C即为所求.
(2)如图5,$\because$ 直线l是点B、B'的对称轴,点C、C'在l上,$\therefore CB=CB'$,$BC'=C'B'$,$\therefore AC+CB=AC+CB'=AB'$. 在$\triangle AC'B'$中,$\because AB'＜AC'+C'B'$,$\therefore AC+CB＜AC'+BC'$.
(3)如图6所示,$\because CE=PE$,$DF=PF$,$\therefore PE+EF+PF=CE+EF+DF$,根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为所求.

3. 如图 9,牧羊人从羊圈 $ A $ 地出发,先让羊群在草地 $ m $ 吃草,再让羊群去河流 $ l $ 饮水,再将羊群带到点 $ B $ 处休息。请你帮牧羊人确定最短的出行路线。

答案：
如图7,$AC+BD+CD=A'C+B'D+CD=A'B'$,故牧羊人应让羊群在点C处吃草,在点D处饮水,才能使他出行路线最短.