《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 下列各式能用平方差公式因式分解的有(B)
①$x^{2} + y^{2}$；②$x^{2} - y^{2}$；③$-x^{2} - y^{2}$；④$-x^{2} + y^{2}$；⑤$-x^{2} + 2xy - y^{2}$.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

2. 因式分解$(x - 1)^{2} - 9$的结果是(D)
A.$(x - 10)(x + 8)$
B.$(x + 8)(x + 1)$
C.$(x - 2)(x + 4)$
D.$(x + 2)(x - 4)$

答案： D

3. 因式分解：
(1)$25x^{2} - 16y^{2}$；
(2)$4(a + b)^{2} - 9(a - b)^{2}$.

答案： 解:
(1)25x²-16y²=(5x-4y)(5x+4y).
(2)4(a+b)²-9(a-b)²=[2(a+b)+3(a-b)][2(a+b)-3(a-b)]=(5a-b)(5b-a).

题型 1 小马虎在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了$x$的指数,他只知道该数为不大于 10 的正整数,并且能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本上的式子是$\frac{25}{4}a^{2} - x^{□}y^{2}$(“$□$”表示漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有(D)
A.2 种
B.3 种
C.4 种
D.5 种

答案： 本题可根据平方差公式的形式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，分析$x$指数的取值。
步骤一：明确平方差公式的形式
平方差公式为$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a^2$与$b^2$均为平方项。
步骤二：分析$\frac{25}{4}a^{2} - x^{□}y^{2}$中$x$指数的取值
在式子$\frac{25}{4}a^{2} - x^{□}y^{2}$中，$\frac{25}{4}a^{2}=(\frac{5}{2}a)^2$，$y^{2}$已经是平方项，要能利用平方差公式分解因式，则$x^{□}$必须是一个平方数，即$x$的指数$□$为偶数。
已知该指数为不大于$10$的正整数，那么满足条件的偶数有$2$、$4$、$6$、$8$、$10$，共$5$种可能。
所以，答案选$\boldsymbol{D}$。

题型 2 分解因式：(1)$16a^{2} - \frac{1}{9}b^{2}$；(2)$x^{4}y^{4} - 1$；(3)$(a - 2b)^{2} - (2a + b)^{2}$.

答案：

题型 2 分解因式：(1)$16a^{2} - \frac{1}{9}b^{2}$；(2)$x^{4}y^{4} - 1$；(3)$(a - 2b)^{2} - (2a + b)^{2}$.

答案： 1. 对于$16a^{2}-\frac{1}{9}b^{2}$：
解：
原式$=(4a)^{2}-(\frac{1}{3}b)^{2}$
根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = 4a$，$n=\frac{1}{3}b$。
则$(4a)^{2}-(\frac{1}{3}b)^{2}=(4a+\frac{1}{3}b)(4a-\frac{1}{3}b)$。
2. 对于$x^{4}y^{4}-1$：
解：
原式$=(x^{2}y^{2})^{2}-1^{2}$
先根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = x^{2}y^{2}$，$n = 1$，得$(x^{2}y^{2}+1)(x^{2}y^{2}-1)$。
而$x^{2}y^{2}-1=(xy)^{2}-1^{2}$，再根据平方差公式，$m = xy$，$n = 1$。
所以$x^{4}y^{4}-1=(x^{2}y^{2}+1)(xy + 1)(xy - 1)$。
3. 对于$(a - 2b)^{2}-(2a + b)^{2}$：
解：
设$m=a - 2b$，$n = 2a + b$，根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$。
则$(a - 2b)^{2}-(2a + b)^{2}=[(a - 2b)+(2a + b)][(a - 2b)-(2a + b)]$。
对$[(a - 2b)+(2a + b)][(a - 2b)-(2a + b)]$进行化简：
$(a - 2b+2a + b)(a - 2b-2a - b)=(3a - b)(-a - 3b)=-(3a - b)(a + 3b)$。
综上，答案依次为：
(1)$(4a+\frac{1}{3}b)(4a-\frac{1}{3}b)$；
(2)$(x^{2}y^{2}+1)(xy + 1)(xy - 1)$；
(3)$-(3a - b)(a + 3b)$。

题型 3 计算：(1)$101^{2} - 99^{2}$；(2)$(7\frac{3}{4})^{2} - (2\frac{1}{4})^{2}$.

答案： 1. 计算$101^{2}-99^{2}$：
解：根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 101$，$b = 99$。
则$101^{2}-99^{2}=(101 + 99)(101 - 99)$。
先计算括号内的值：$101+99 = 200$，$101 - 99 = 2$。
再计算乘积：$200×2=400$。
2. 计算$(7\frac{3}{4})^{2}-(2\frac{1}{4})^{2}$：
解：将$7\frac{3}{4}=\frac{7×4 + 3}{4}=\frac{31}{4}$，$2\frac{1}{4}=\frac{2×4+1}{4}=\frac{9}{4}$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a=\frac{31}{4}$，$b = \frac{9}{4}$。
则$(\frac{31}{4})^{2}-(\frac{9}{4})^{2}=(\frac{31}{4}+\frac{9}{4})(\frac{31}{4}-\frac{9}{4})$。
先计算括号内的值：$\frac{31 + 9}{4}=\frac{40}{4}=10$，$\frac{31-9}{4}=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}$。
再计算乘积：$10×\frac{11}{2}=55$。
综上，（1）的结果为$400$；（2）的结果为$55$。