《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

3. 用提公因式法分解因式,下列因式分解正确的是(D)
A.$2n^2 - mn + n = 2n(n - m)$
B.$2n^2 - mn + n = n(2 - m + 1)$
C.$2n^2 - mn + n = n(2n - m)$
D.$2n^2 - mn + n = n(2n - m + 1)$

答案： D

4. 因式分解：$x^2 - 2025x = $x(x-2025)。

答案： x(x-2025)

题型 2 因式分解：(1)$2a^2 - 4a$；(2)$12abc - 9a^2b^2$；(3)$-4x^2 + 10x$；(4)$6(a - b)^2 + 3(a - b)$；(5)$a(m - n) + 2b(n - m)$。
（1）$2a^2 - 4a$
解：提取公因式$2a$，可得$2a^2 - 4a = 2a(a - 2)$。
（2）$12abc - 9a^2b^2$
解：提取公因式$3ab$，可得$12abc - 9a^2b^2 = 3ab(4c - 3ab)$。
（3）$-4x^2 + 10x$
解：提取公因式$-2x$，可得$-4x^2 + 10x = -2x(2x - 5)$。
（4）$6(a - b)^2 + 3(a - b)$
解：提取公因式$3(a - b)$，可得$6(a - b)^2 + 3(a - b)=3(a - b)[2(a - b)+1]=3(a - b)(2a - 2b + 1)$。
（5）$a(m - n) + 2b(n - m)$
解：将$n - m$变形为$-(m - n)$，则原式$=a(m - n)-2b(m - n)$，提取公因式$(m - n)$，可得$a(m - n) + 2b(n - m)=(m - n)(a - 2b)$。

答案： （1）$2a^2 - 4a$
解：提取公因式$2a$，可得$2a^2 - 4a = 2a(a - 2)$。
（2）$12abc - 9a^2b^2$
解：提取公因式$3ab$，可得$12abc - 9a^2b^2 = 3ab(4c - 3ab)$。
（3）$-4x^2 + 10x$
解：提取公因式$-2x$，可得$-4x^2 + 10x = -2x(2x - 5)$。
（4）$6(a - b)^2 + 3(a - b)$
解：提取公因式$3(a - b)$，可得$6(a - b)^2 + 3(a - b)=3(a - b)[2(a - b)+1]=3(a - b)(2a - 2b + 1)$。
（5）$a(m - n) + 2b(n - m)$
解：将$n - m$变形为$-(m - n)$，则原式$=a(m - n)-2b(m - n)$，提取公因式$(m - n)$，可得$a(m - n) + 2b(n - m)=(m - n)(a - 2b)$。

题型 3 利用因式分解简便计算：$6×2^4 + 6×2^3 + 44×2^2$。

答案： 解：
$\begin{aligned}&6×2^4 + 6×2^3 + 44×2^2\\=&6×2^2×2^2 + 6×2^2×2 + 44×2^2\\=&2^2×(6×2^2 + 6×2 + 44)\\=&4×(6×4 + 12 + 44)\\=&4×(24 + 12 + 44)\\=&4×80\\=&320\end{aligned}$

题型 4 已知$a + b = \frac{3}{2}$,$ab = -2$,则式子$a^2b + ab^2$的值为______。

答案： $a^2b + ab^2 = ab(a + b)$，将$a + b = \frac{3}{2}$，$ab = -2$代入可得：$-2×\frac{3}{2} = -3$。
故答案为：$-3$。

题型 5 鸣鸣利用计算器计算发现,一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置后,新得的数与原数的差能被$99$整除,可是他无法说明道理,请你帮助他解决这个问题。

答案： 解：设原三位数的百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$，则原数为$100a + 10b + c$，新数为$100c + 10b + a$。
两数之差为：$(100c + 10b + a) - (100a + 10b + c)$
$=100c + 10b + a - 100a - 10b - c$
$=(100c - c)+(10b - 10b)+(a - 100a)$
$= 99c - 99a$
$= 99(c - a)$
因为$99(c - a)÷99 = c - a$，结果为整数，所以新得的数与原数的差能被$99$整除。

题型 6 在学习中,小明发现：当$n = 1$,$2$,$3$时,$n^2 - 6n$的值都是负数。于是小明猜想：当$n$为任意正整数时,$n^2 - 6n$的值都是负数。小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由。

答案： 解：当$n = 7$时，$n^2 - 6n=7^2 - 6×7$
$=49 - 42$
$= 7\gt0$。
所以小明的猜想不正确，因为存在正整数$n$（如$n = 7$），使得$n^2 - 6n$的值是正数。

1. 将多项式$a^2 + a^5$提公因式后,另一个因式是(B)
A.$a^2$
B.$1 + a^3$
C.$a^5$
D.$a^3$

答案： B

2. 把多项式$8x^2 - 56x^2y$因式分解,所提取的公因式是8x²。

答案： 8x²

3. 因式分解：(1)$-20a - 15ax$；(2)$9abc - 6a^2b^2 + 12abc^2$；(3)$(a - 3)^2 - 2(a - 3)$。

答案： 解:
(1)-20a-15ax=-5a(4+3x);
(2)9abc-6a²b²+12abc²=3ab(3c-2ab+4c²);
(3)(a-3)²-2(a-3)=(a-3)(a-5)