《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图,要使$\triangle ABC\cong\triangle ADC$,只要满足(D)

A.$AB = AD$,$\angle B= \angle D$
B.$AB = AD$,$\angle ACB= \angle ACD$
C.$BC = DC$,$\angle BAC= \angle DAC$
D.$AB = AD$,$\angle BAC= \angle DAC$

答案： D

2. 在下列推理中,填写需要补充的条件,使结论成立.
(1)如图1,$AB = DC$,$BE = CF$,只需补充$\angle$B$=\angle$C,就可以证明$\triangle ABE\cong\triangle DCF$.


(2)如图2,$AC$,$BD相交于点O$,只要补充AO$=$BO和DO$=$CO,就可以证明$\triangle ADO\cong\triangle BCO$.

答案：
(1)B C
(2)AO BO DO CO

题型1 如图,$AB = AC$,$AD = AE$,求证：$\angle B= \angle C$.

答案： 解：在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\\angle A=\angle A \\AE = AD\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
因为全等三角形的对应角相等，所以$\angle B = \angle C$。

题型2 如图,$AF = CE$,$AD// CB$,$AD = CB$.试问：(1)$\triangle ADF与\triangle CBE$全等吗？(2)$DF与BE$相等吗？请说明理由.

答案： 1. （1）
解：因为$AD// CB$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle A=\angle C$。
已知$AF = CE$，$AD = CB$。
在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = CB\\\angle A=\angle C\\AF = CE\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ADF\cong\triangle CBE$。
2. （2）
解：由（1）知$\triangle ADF\cong\triangle CBE$。
根据全等三角形的对应边相等，所以$DF = BE$。
综上，（1）$\triangle ADF$与$\triangle CBE$全等；（2）$DF$与$BE$相等，理由是全等三角形的对应边相等。

题型3 如图,已知$AB\perp BD$,$DE\perp BD$,$AB = CD$,$BC = DE$,试猜想线段$AC与CE$的大小与位置关系,并证明你的结论.

答案： 1. 首先证明$AC = CE$且$AC\perp CE$：
因为$AB\perp BD$，$DE\perp BD$，所以$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle CDE$中：
已知$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle B=\angle D\\BC = DE\end{array}\right.$。
根据三角形全等判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABC\cong\triangle CDE$。
由全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$AC = CE$。
又因为$\triangle ABC\cong\triangle CDE$，所以$\angle A=\angle DCE$。
由于$\angle B = 90^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ACB=90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余）。
把$\angle A=\angle DCE$代入$\angle A+\angle ACB = 90^{\circ}$，得到$\angle DCE+\angle ACB = 90^{\circ}$。
因为$\angle ACB+\angle DCE+\angle ACE = 180^{\circ}$（平角的定义），所以$\angle ACE=180^{\circ}-(\angle ACB + \angle DCE)=90^{\circ}$。
所以$AC = CE$且$AC\perp CE$。