《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

6. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AC$,$AB$上,$BD= CE$,$\angle DBC= \angle ECB$. 求证：$AB= AC$.

答案： 证明:
∵BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB,
∴△BCE≌△CBD,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AB=AC.

7. 在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC于点D$,且$D是BC$的中点,则下列结论不正确的是(C)
A.$\triangle ABD\cong\triangle ACD$
B.$\angle B= \angle C$
C.$AD不是\triangle ABC$的中线
D.$AB= AC$

答案： C

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 108^{\circ}$,$\angle ADB= 72^{\circ}$,$DE平分\angle ADB$,则图中等腰三角形的个数是(C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C

9. 如图,直线$a$,$b相交于点O$,$\angle 1= 50^{\circ}$,点$A在直线a$上,直线$b上存在点B$,使以点$O$,$A$,$B$为顶点的三角形是等腰三角形,这样的$B$点有(D)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D

10. 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$CD$,$CE$分别是中线和角平分线,当$\angle A$的度数为15或75$^{\circ}$时,$\triangle CDE$是等腰三角形.

答案： 15或75

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D是BC$边上的中点,$G是AC$边上一点,过点$G作EF\perp BC$,交$BC于点E$,交$BA的延长线于点F$.
(1)求证：$AD// EF$.
(2)求证：$\triangle AFG$是等腰三角形.

答案：
(1)证明:
∵AB=AC,D是BC边上的中点，
∴AD是等腰三角形ABC底边BC的中线，
∴AD⊥BC.
∵EF⊥BC,
∴AD//EF.
(2)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵EF⊥BC,
∴∠B+∠F=∠C+∠EGC,
∴∠F=∠EGC.
∵∠EGC=∠AGF,
∴∠AGF=∠F,
∴AG=AF,
∴△AFG是等腰三角形.

12. 在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle B= 30^{\circ}$,点$P在BC$边上运动(点$P不与点B$,$C$重合),连接$AP$,作$\angle APQ= \angle B$,$PQ交AB于点Q$.
(1)如图,当$PQ// CA$时,判断$\triangle APB$的形状并说明理由.
(2)在点$P$的运动过程中,$\triangle APQ$的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请求出$\angle BQP$的度数；若不可以,请说明理由.

答案：
(1)△APB是直角三角形.理由如下:
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=30°=∠B=∠APQ.
∵PQ//AC,
∴∠BPQ=∠C,
∴∠APB=60°,
∴∠BAP=90°,
∴△APB是直角三角形.
(2)当AQ=QP时，
∴∠QAP=∠APQ=30°,
∴∠BQP=∠QAP+∠APQ=60°,当AP=PQ时,则∠AQP=∠PAQ=75°,
∴∠BQP=105°,当AQ=AP时,则∠AQP=∠APQ=30°.
∵点P不与点B,C重合，
∴不存在.综上所述，∠BQP=105°或60°.