《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形(B)
A.三个内角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点

答案： B

2. 下列命题的逆命题是假命题的是(A)
A.对顶角相等
B.两直线平行,同位角相等
C.若$a^{2}= b^{2}$,则$a = b$
D.若$a = b$,则$a^{3}= b^{3}$

答案： A

3. 如图,直线$CD垂直平分线段AB$,$AC = 1$,$\angle A = 40^{\circ}$,则$BC = $1,$\angle B = $40°.

答案： 1　40°

题型1 如图,$DE是\triangle ABC的边AB$的垂直平分线,分别交$AB$,$BC于点D$,$E$,$AE平分\angle BAC$,若$\angle B = 30^{\circ}$,则$\angle C$的度数为$90^{\circ}$.

答案： 1. 首先，根据线段垂直平分线的性质：
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$EA = EB$。
根据等边对等角，可得$\angle B=\angle EAB$。
已知$\angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle EAB = 30^{\circ}$。
2. 然后，根据角平分线的性质：
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAC = 2\angle EAB$。
则$\angle BAC=2×30^{\circ}=60^{\circ}$。
3. 最后，根据三角形内角和定理：
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle BAC+\angle C = 180^{\circ}$。
已知$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，设$\angle C=x$，则$30^{\circ}+60^{\circ}+x = 180^{\circ}$。
移项可得$x=\angle C=180^{\circ}-\angle B - \angle BAC$。
把$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$代入得$\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$。
故答案为$90^{\circ}$。

题型2 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB边上的垂直平分线DE交AC于点E$,若$\triangle ABC的周长为28\mathrm{cm}$,$BC = 8\mathrm{cm}$,求$\triangle BCE$的周长.

答案： 1. 首先求$AB$和$AC$的长度：
已知$\triangle ABC$的周长为$28cm$，$BC = 8cm$，且$AB = AC$。
根据三角形周长公式$C_{\triangle ABC}=AB + AC+BC$，设$AB = AC=x$，则$2x + 8 = 28$。
解方程$2x=28 - 8$，即$2x = 20$，得$x = 10cm$，所以$AB = AC = 10cm$。
2. 然后利用垂直平分线的性质：
因为$DE$是$AB$边上的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE = BE$。
3. 最后求$\triangle BCE$的周长：
根据三角形周长公式$C_{\triangle BCE}=BE + EC+BC$。
把$BE = AE$代入上式得$C_{\triangle BCE}=AE + EC+BC$。
又因为$AE + EC=AC$，$AC = 10cm$，$BC = 8cm$。
所以$C_{\triangle BCE}=AC + BC$。
则$C_{\triangle BCE}=10 + 8=18cm$。
综上，$\triangle BCE$的周长为$18cm$。

题型3 如图,$P是\angle AOB$平分线上的一点,$PC\perp OA$,$PD\perp OB$,垂足分别为$C$,$D$.
求证：(1)$OC = OD$.
(2)$OP是CD$的垂直平分线.

答案： 1. 证明$OC = OD$：
解：
因为$P$是$\angle AOB$平分线上的一点，$PC\perp OA$，$PD\perp OB$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PC = PD$。
在$Rt\triangle OCP$和$Rt\triangle ODP$中，$\left\{\begin{array}{l}OP = OP\\PC = PD\end{array}\right.$（$OP$为公共边，已证$PC = PD$）。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，$Rt\triangle OCP\cong Rt\triangle ODP$。
由全等三角形的对应边相等，可得$OC = OD$。
2. 证明$OP$是$CD$的垂直平分线：
解：
设$OP$与$CD$相交于点$E$。
因为$OC = OD$（已证），$\angle COP=\angle DOP$（$OP$是$\angle AOB$平分线），$OE = OE$（公共边）。
根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle OCE\cong\triangle ODE$。
所以$\angle OEC=\angle OED$，又因为$\angle OEC+\angle OED = 180^{\circ}$，所以$\angle OEC=\angle OED = 90^{\circ}$，即$OP\perp CD$。
同时$CE = DE$（全等三角形对应边相等）。
所以$OP$是$CD$的垂直平分线。
综上，（1）已证$OC = OD$；（2）已证$OP$是$CD$的垂直平分线。