《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

8. 若不论 $x$ 为何值,$(x + a)^2 = x^2 - x + a^2$ 恒成立,则常数 $a$ 等于(D)
A.$2$
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： D

9. 若 $m^2 + n^2 = 4n - 4m - 8$,则 $m - n$ 的值等于(C)
A.$-2$
B.$0$
C.$-4$
D.$4$

答案： C

10. 用简便方法计算：$10.1^2 - 2×10.1×0.1 + 0.01 = \underline{100}$.

答案： 100

11. 现定义某种运算“\”：对于任意两个数 a 和 b,有$ a\b = a^2 - ab + b^2,$如$ 3\4 = 3^2 - 3×4 + 4^2 = 13. $请按定义计算$ (x + y)x - y) = \underline{\quad\quad}.$$x^{2}+3y^{2}$

答案： $x^{2}+3y^{2}$

12. 用简便方法计算：(1)$199^2$；(2)$1001^2$.

答案：
(1)$199^{2}=(200-1)^{2}=200^{2}-2×200×1+1^{2}=40000-400+1=39601$.
(2)$1001^{2}=(1000+1)^{2}=1000^{2}+2×1000×1+1^{2}=1002001$

13. 先化简,再求值：$(x + 3)^2 + (2 + x)(2 - x)$,其中 $x = -2$.

答案： 解:原式=$x^{2}+6x+9+4-x^{2}=6x+13$.当x=-2时,原式=$6×(-2)+13=1$

14. 若 $x + y = 2$,且 $(x + 2)(y + 2) = 5$,求 $x^2 + xy + y^2$ 的值.

答案： 解:因为$(x+2)(y+2)=5$,所以$xy+2(x+y)+4=5$.因为x+y=2,所以xy=-3,所以$x^{2}+xy+y^{2}=(x+y)^{2}-xy=2^{2}-(-3)=7$

15. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”,此图揭示了 $(a + b)^n$($n$ 为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律. 请你观察,并根据此规律填空：$(a + b)^7$ 的展开式共有8项,第二项的系数是7,$(a + b)^n$ 的展开式共有n+1项,各项的系数和是$2^{n}$.

答案： 8 7 n+1 $2^{n}$

16. 【阅读理解】
“若 $x$ 满足 $(80 - x)(x - 60) = 30$,求 $(80 - x)^2 + (x - 60)^2$ 的值”.
【解决问题】
(1)若 $x$ 满足 $(30 - x)(x - 20) = -10$,求 $(30 - x)^2 + (x - 20)^2$ 的值.
(2)若 $x$ 满足 $(2023 - x)^2 + (2021 - x)^2 = 4040$,求 $(2023 - x)(2021 - x)$ 的值.

答案：
(1)$(30-x)^{2}+(x-20)^{2}+2(30-x)(x-20)=[(30-x)+(x-20)]^{2}=100$,
∴$(30-x)^{2}+(x-20)^{2}+2×(-10)=100$,
∴$(30-x)^{2}+(x-20)^{2}=120$.
(2)$(2023-x)^{2}+(2021-x)^{2}-2(2023-x)(2021-x)=[(2023-x)-(2021-x)]^{2}=4$,
∴$4040-2(2023-x)(2021-x)=4$,
∴$(2023-x)(2021-x)=2018$