《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图,$\angle ACD$ 是 $\triangle ABC$ 的外角,若 $\angle ACD = 110^{\circ}$,$\angle B = 50^{\circ}$,则 $\angle A$ 的度数为 (D)


A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： D

2. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是 (C)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定

答案： C

3. 如图,$\angle DBA = 105^{\circ}$,$\angle ECA = 125^{\circ}$,则 $\angle A$ 的度数为50°.

答案： 50°

题型 1 如图,$\angle 1$,$\angle 2$,$\angle 3$ 的大小关系为 (D)
A.$\angle 2 ＞ \angle 1 ＞ \angle 3$
B.$\angle 1 ＞ \angle 3 ＞ \angle 2$
C.$\angle 3 ＞ \angle 2 ＞ \angle 1$
D.$\angle 1 ＞ \angle 2 ＞ \angle 3$

答案： D

题型 2 如图,$\angle A = 65^{\circ}$,$\angle B = 75^{\circ}$,将 $\triangle ABC$ 沿 $EF$ 折叠,使点 $C$ 落到点 $C'$ 处,若 $\angle 1 = 20^{\circ}$,则 $\angle 2 = $______.

答案： 1. 首先，根据三角形内角和定理：
在$\triangle ABC$中，已知$\angle A = 65^{\circ}$，$\angle B = 75^{\circ}$，由三角形内角和公式$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，可得$\angle C=180^{\circ}-\angle A - \angle B$。
把$\angle A = 65^{\circ}$，$\angle B = 75^{\circ}$代入，得$\angle C=180^{\circ}-65^{\circ}-75^{\circ}=40^{\circ}$。
2. 然后，根据折叠的性质：
因为$\triangle EFC'$是由$\triangle EFC$折叠得到的，所以$\angle C'=\angle C = 40^{\circ}$。
在四边形$ABFE$中，$\angle A+\angle B+\angle BFE+\angle AEF = 360^{\circ}$，在$\triangle EFC'$中，$\angle C'+\angle 1+\angle 2+\angle BFE+\angle AEF = 360^{\circ}$（这里$\angle BFE+\angle AEF$是公共部分）。
又因为$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，$\angle C'+\angle 1+\angle 2+\angle C = 180^{\circ}$（根据四边形内角和与三角形内角和的关系转化）。
已知$\angle C=\angle C' = 40^{\circ}$，$\angle 1 = 20^{\circ}$。
由$\angle 1+\angle 2 + 2\angle C=180^{\circ}$（$\angle C=\angle C'$，折叠后$\angle C$的度数不变，相当于两个$\angle C$与$\angle 1$、$\angle 2$组成一个平角）。
3. 最后，求解$\angle 2$：
把$\angle C = 40^{\circ}$，$\angle 1 = 20^{\circ}$代入$\angle 1+\angle 2 + 2\angle C=180^{\circ}$，得到$20^{\circ}+\angle 2+2×40^{\circ}=180^{\circ}$。
即$\angle 2+20^{\circ}+80^{\circ}=180^{\circ}$。
移项可得$\angle 2=180^{\circ}-(20^{\circ} + 80^{\circ})$。
所以$\angle 2 = 60^{\circ}$。
故答案为$60^{\circ}$。

题型 3 如图,求证：$\angle BDC = \angle B + \angle C + \angle BAC$.(方法指导：添加辅助线,由三角形的内角和定理的推论求几个角之间的关系)

答案： 解：
延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$。
因为$\angle BEC$是$\triangle ABE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$\angle BEC=\angle B + \angle BAC$。
又因为$\angle BDC$是$\triangle DEC$的外角，同理可得$\angle BDC=\angle BEC+\angle C$。
把$\angle BEC=\angle B + \angle BAC$代入$\angle BDC=\angle BEC+\angle C$中，得到$\angle BDC=\angle B + \angle C+\angle BAC$。
综上，$\angle BDC = \angle B + \angle C + \angle BAC$得证。

题型 4 如图,$D$ 是 $BC$ 延长线上一点,$\angle ABC$,$\angle ACD$ 的平分线交于点 $E$,试探究 $\angle E$ 与 $\angle A$ 有何数量关系,并证明.

答案： 解：$\angle E=\frac{1}{2}\angle A$。
证明：设$\angle ABC = 2x$，$\angle ACD = 2y$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACD$，所以$\angle EBC=x$，$\angle ECD = y$。
根据三角形外角性质，$\angle ACD=\angle A+\angle ABC$，即$2y=\angle A + 2x$ ①；
又因为$\angle ECD=\angle E+\angle EBC$，即$y=\angle E+x$ ②。
将②式两边同时乘以$2$得$2y = 2\angle E+2x$ ③。
把①式$2y=\angle A + 2x$代入③式可得：$\angle A + 2x=2\angle E+2x$，
两边同时减去$2x$，得到$\angle E=\frac{1}{2}\angle A$。
综上，$\angle E$与$\angle A$的数量关系为$\boldsymbol{\angle E=\frac{1}{2}\angle A}$。