《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,直线$ED垂直平分线段BC$,分别交$BC$,$AB于点D$,$E$,若$BD = 3$,$\triangle AEC的周长为20$,则$\triangle ABC$的周长为(B)

A.$23$
B.$26$
C.$28$
D.$30$

答案： B

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 115^{\circ}$,$BC = 15\mathrm{cm}$,$EF$,$MN分别为AB$,$AC$的垂直平分线,则$\triangle FAN$的周长是15cm,$\angle FAN$的度数为50°.

答案： 15cm　50°

10. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$BC边的垂直平分线MN经过点A$,连接$AC$. 求证：点$A在CD$的垂直平分线上.

答案： 证明:
∵MN垂直平分BC，
∴AB=AC.
∵AB=AD,
∴AC=AD.
∴点A在CD的垂直平分线上.

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC边的垂直平分线DE与\angle BAC的平分线交于点E$,$EF\perp AB交AB的延长线于点F$,$EG\perp AC交AC于点G$. 求证：(1)$BF = CG$；(2)$AF= \dfrac{1}{2}(AB + AC)$.

答案： 证明:
(1)如图，连接BE,CE.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴EF=EG.
∵DE垂直平分BC,
∴EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC 中，{EB=EC,EF=EG,
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),
∴BF=CG.
(2)
∵BF=CG,
∴AB+AC=AB+BF+AG=AF+AG.又易证Rt△AEF≌Rt△AEG(HL),
∴AF=AG,
∴AF=$\frac{1}{2}$(AB+AC).