《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 下列各题中,运算正确的是(B)
A.$a^3 + a^4 = a^7$
B.$b^3 \cdot b^4 = b^7$
C.$c^3 \cdot c^4 = c^{12}$
D.$d^3 \cdot d^4 = 2d^7$

答案： B

2. 计算下列各题：
(1) $(\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{1}{3})^5$；
(2) $-x^4 \cdot x^4$；
(3) $10^2 \cdot 10^{n + 1} \cdot 10^{n - 1}$.

答案： 解:
(1)原式=$(\frac{1}{3})^{9}$;
(2)原式=$-x^{8}$;
(3)原式=$10^{2n+2}$.

3. 计算：$(b + 2)^3 \cdot (b + 2)^5 \cdot (b + 2)$.

答案： 解:$(b+2)^{3}\cdot (b+2)^{5}\cdot (b+2)=(b+2)^{3+5+1}=(b+2)^{9}$.

题型 1 宇宙空间的年龄通常以光年为单位,1 光年是光在一年内通过的距离,如果光的速度为每秒 $3 × 10^5$ 千米,一年约为 $3.2 × 10^7$ 秒,那么 1 光年约为多少千米？

答案： 题型1
解：根据距离$=$速度$×$时间，已知光的速度为每秒$3×10^{5}$千米，一年约为$3.2× 10^{7}$秒。
则$1$光年的距离为：
$(3× 10^{5})×(3.2× 10^{7})$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m× a^n=a^{m + n}$（$a\neq0$，$m$、$n$为整数）以及乘法交换律和结合律可得：
$(3× 3.2)×(10^{5}× 10^{7})=9.6×10^{5 + 7}=9.6× 10^{12}$（千米）
题型2
解：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m + n}=a^{m}× a^{n}$。
已知$a^{m}=2$，$a^{n}=5$，则$a^{m + n}=a^{m}× a^{n}=2×5 = 10$。
题型3
解：
对于$(x - y)^{2}\cdot(x - y)^{3}$，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$(x - y)^{2+3}=(x - y)^{5}$。
对于$(x - y)^{4}\cdot(y - x)$，因为$y - x=-(x - y)$，所以$(x - y)^{4}\cdot(y - x)=(x - y)^{4}\cdot[-(x - y)]=-(x - y)^{4 + 1}=-(x - y)^{5}$。
则$(x - y)^{2}\cdot(x - y)^{3}-(x - y)^{4}\cdot(y - x)=(x - y)^{5}-[-(x - y)^{5}]=(x - y)^{5}+(x - y)^{5}=2(x - y)^{5}$。
题型4
解：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$x\cdot x^{m}\cdot x^{n}=x^{1 + m + n}$。
已知$x\cdot x^{m}\cdot x^{n}=x^{14}$，所以$x^{1 + m + n}=x^{14}$，则$1 + m + n=14$，所以$m + n=14 - 1=13$。
题型5
解：
将$A = 2^{2020}×3^{2023}$变形为$A = 2^{2020}×3^{2020}×3^{3}=(2×3)^{2020}×27 = 6^{2020}×27$。
将$B = 2^{2022}×3^{2021}$变形为$B = 2^{2021}×3^{2021}×2^{1}=(2×3)^{2021}×2 = 6^{2021}×2$。
因为$\frac{A}{B}=\frac{6^{2020}×27}{6^{2021}×2}=\frac{27}{6×2}=\frac{27}{12}\gt1$，所以$A\gt B$。

题型 2 已知 $a^m = 2$,$a^n = 5$,求 $a^{m + n}$ 的值.

答案： 解：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m× a^n$。
已知$a^m = 2$，$a^n = 5$，将其代入$a^{m+n}=a^m× a^n$可得：
$a^{m + n}=2×5 = 10$。
所以$a^{m + n}$的值为$10$。

题型 3 计算：$(x - y)^2 \cdot (x - y)^3 - (x - y)^4 \cdot (y - x)$.

答案： 解：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
$\begin{aligned}&(x - y)^2 \cdot (x - y)^3 - (x - y)^4 \cdot (y - x)\\=&(x - y)^{2 + 3}-(x - y)^4\cdot[-(x - y)]\\=&(x - y)^5 + (x - y)^5\\=&2(x - y)^5\end{aligned}$

题型 4 若 $x \cdot x^m \cdot x^n = x^{14}$,求 $m + n$.

答案： 解：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x\cdot x^m\cdot x^n = x^{1 + m + n}$。
因为$x\cdot x^m\cdot x^n = x^{14}$，所以$x^{1 + m + n}=x^{14}$，则$1 + m + n = 14$，即$m + n = 14 - 1 = 13$。
综上，$m + n$的值为$13$。

题型 5 设 $A = 2^{2020} × 3^{2023}$,$B = 2^{2022} × 3^{2021}$,请比较 $A$,$B$ 的大小.

答案： 1. 首先，对$A$和$B$作商：
计算$\frac{A}{B}$，根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n\in N^{*},m\gt n)$，$\frac{A}{B}=\frac{2^{2020}×3^{2023}}{2^{2022}×3^{2021}}$。
再根据$\frac{a^{m}× b^{n}}{a^{p}× b^{q}}=a^{m - p}× b^{n - q}(a\neq0,b\neq0,m,n,p,q\in N^{*})$，则$\frac{A}{B}=2^{2020 - 2022}×3^{2023 - 2021}$。
2. 然后，根据同底数幂的运算公式进行计算：
对于$2^{2020 - 2022}$，根据$a^{m - n}=\frac{a^{m}}{a^{n}}$，$2^{2020 - 2022}=2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}$；对于$3^{2023 - 2021}$，$3^{2023 - 2021}=3^{2}=9$。
所以$\frac{A}{B}=2^{-2}×3^{2}=\frac{3^{2}}{2^{2}}$（根据$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}(a\neq0,n\in N^{*})$），即$\frac{A}{B}=\frac{9}{4}$。
3. 最后，比较$A$和$B$的大小：
因为$\frac{A}{B}=\frac{9}{4}\gt1$，所以$A\gt B$。
另一种方法：
1. 把$A$和$B$变形：
$A = 2^{2020}×3^{2020}×3^{3}=(2×3)^{2020}×27 = 6^{2020}×27$。
$B = 2^{2020}×2^{2}×3^{2020}×3=(2×3)^{2020}×12 = 6^{2020}×12$。
2. 比较$A$和$B$：
因为$27\gt12$，且$6^{2020}\gt0$，根据不等式的性质：若$m\gt0$，$a\gt b$，则$ma\gt mb$。
所以$6^{2020}×27\gt6^{2020}×12$，即$A\gt B$。
综上，$A\gt B$。