《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 下列式子从左至右变形不正确的是(D)
A.$\frac{-a}{-2b}= \frac{a}{2b}$
B.$\frac{a}{b}= \frac{4a}{4b}$
C.$\frac{2}{-3b}= -\frac{2}{3b}$
D.$\frac{a}{b}= \frac{a + 2}{b + 2}$

答案： D

2. 已知$a = 3b(b\neq0)$,则式子$\frac{a + b}{a - b}$的值为2.

答案： 2

3. 填空：
(1)$\frac{3}{4y}= \frac{(3x+3y)}{4y(x + y)}(x + y\neq0)$；
(2)$\frac{x^{2}+xy}{x^{2}}= \frac{x + y}{(x)}$.

答案：
(1)3x+3y；
(2)x

题型1 若将分式$\frac{x + y}{2xy}$中的$x$,$y$都扩大为原来的3倍,则分式的值(B)
A.扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.缩小为原来的$\frac{1}{9}$

答案： 1. 首先，将$x$，$y$都扩大为原来的$3$倍：
原分式$\frac{x + y}{2xy}$，$x$变为$3x$，$y$变为$3y$，则新分式为$\frac{3x + 3y}{2×(3x)×(3y)}$。
2. 然后，对新分式进行化简：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，$3x + 3y = 3(x + y)$；
新分式$\frac{3x + 3y}{2×(3x)×(3y)}=\frac{3(x + y)}{2×9xy}$；
进一步化简$\frac{3(x + y)}{2×9xy}=\frac{1}{3}×\frac{x + y}{2xy}$。
所以分式的值缩小为原来的$\frac{1}{3}$，答案是B。

题型2 下列运算正确的是(D)
A.$\frac{y}{-x - y}= -\frac{y}{x - y}$
B.$\frac{2x + y}{3x + y}= \frac{2}{3}$
C.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}= x + y$
D.$\frac{y - x}{x^{2}-y^{2}}= -\frac{1}{x + y}$

答案： 1. 首先分析选项A：
对于$\frac{y}{-x - y}$，根据分式的基本性质$\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}$，$\frac{y}{-x - y}=\frac{y}{-(x + y)}=-\frac{y}{x + y}\neq-\frac{y}{x - y}$，所以选项A错误。
2. 然后分析选项B：
对于$\frac{2x + y}{3x + y}$，只有当$y = 0$时，$\frac{2x + y}{3x + y}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}$（$x\neq0$），一般情况下$\frac{2x + y}{3x + y}\neq\frac{2}{3}$，因为分式$\frac{a + b}{c + b}$（$b\neq0$）不能直接约分为$\frac{a}{c}$，所以选项B错误。
3. 接着分析选项C：
对于$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}$，$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$，$x^{2}+y^{2}\neq(x + y)^{2}$，$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}$不能化简为$x + y$，所以选项C错误。
4. 最后分析选项D：
对于$\frac{y - x}{x^{2}-y^{2}}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，则$\frac{y - x}{x^{2}-y^{2}}=\frac{-(x - y)}{(x + y)(x - y)}$（$x\neq y$）。
根据分式的基本性质$\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}(c\neq0)$，$\frac{-(x - y)}{(x + y)(x - y)}=-\frac{1}{x + y}$，所以选项D正确。
综上，答案是D。

题型3 不改变分式的值,把下列各分式的分子、分母中的系数都化为整数.
\frac{x+\frac{2}{3}y}{\frac{x}{2}-2y}= ______,
\frac{0.3a + 0.5b}{0.2a - 0.01b}= ______.
方法归纳交流 运用分式基本性质进行变形要注意：(1)分式变形前后的值要______；(2)分式的分子和分母要______或______,不能只对分子或只对分母进行变形；(3)所乘(或除以)的整式不能为______.

答案： 1. 对于$\frac{x+\frac{2}{3}y}{\frac{x}{2}-2y}$：
解：
要将分子、分母中的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数分母的最小公倍数。
分子中$x$的系数分母为$1$，$\frac{2}{3}y$的系数分母为$3$；分母中$\frac{x}{2}$的系数分母为$2$，$-2y$的系数分母为$1$，$1$、$3$、$2$的最小公倍数是$6$。
根据分式的基本性质$\frac{A}{B}=\frac{A× M}{B× M}(M\neq0)$，给分子分母同时乘以$6$：
$\frac{(x + \frac{2}{3}y)×6}{(\frac{x}{2}-2y)×6}=\frac{6x+4y}{3x - 12y}$。
2. 对于$\frac{0.3a + 0.5b}{0.2a - 0.01b}$：
解：
分子中$0.3a$、$0.5b$，分母中$0.2a$、$-0.01b$，$0.3$、$0.5$、$0.2$、$0.01$，可将其化为分数$\frac{3}{10}$、$\frac{5}{10}$、$\frac{2}{10}$、$\frac{1}{100}$，分母$10$、$10$、$10$、$100$的最小公倍数是$100$。
根据分式的基本性质，给分子分母同时乘以$100$：
$\frac{(0.3a + 0.5b)×100}{(0.2a - 0.01b)×100}=\frac{30a + 50b}{20a - b}$。
3. 方法归纳交流：
运用分式基本性质进行变形要注意：
(1)分式变形前后的值要**相等**；
(2)分式的分子和分母要**同时乘**或**除以同一个不为$0$的整式**，不能只对分子或只对分母进行变形；
(3)所乘（或除以）的整式不能为**$0$**。
故答案依次为：$\frac{6x + 4y}{3x-12y}$；$\frac{30a + 50b}{20a - b}$；相等；同时乘；除以同一个不为$0$的整式；$0$。

题型4 若$\frac{a}{b}= 2$,则\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}= ______.
方法归纳交流 对于此类问题不能单独求出未知数的值,因此通常是根据______来解决类似问题.

答案： 1. 首先，由$\frac{a}{b}=2$，可得$a = 2b$。
2. 然后，将$a = 2b$代入$\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$中：
分子$a^{2}-ab + b^{2}=(2b)^{2}-(2b)× b + b^{2}$。
根据幂的运算法则$(mn)^p=m^p× n^p$，$(2b)^{2}=2^{2}× b^{2}=4b^{2}$，$(2b)× b = 2b^{2}$。
则分子$4b^{2}-2b^{2}+b^{2}=(4 - 2 + 1)b^{2}=3b^{2}$。
分母$a^{2}+b^{2}=(2b)^{2}+b^{2}$。
同理$(2b)^{2}=4b^{2}$，则分母$4b^{2}+b^{2}=(4 + 1)b^{2}=5b^{2}$。
3. 最后，计算$\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$的值：
$\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{3b^{2}}{5b^{2}}$（$b\neq0$，因为$\frac{a}{b}=2$，$b$作为分母不为$0$）。
根据分式的基本性质$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}(C\neq0)$，这里$C = b^{2}$，所以$\frac{3b^{2}}{5b^{2}}=\frac{3}{5}$。
方法归纳交流：对于此类问题不能单独求出未知数的值，因此通常是根据**分式的基本性质（用一个未知数表示另一个未知数，代入化简）**来解决类似问题。
故答案依次为：$\frac{3}{5}$；分式的基本性质（用一个未知数表示另一个未知数，代入化简）。

题型5 不改变分式的值,使下列各分式的分子、分母的符号均为正.
(1)\frac{-2a}{3b}= ______；
(2)\frac{3x}{-2y}= ______；
(3)-\frac{2x}{-3y}= ______；
(4)\frac{-3x}{-2y}= ______.
方法归纳交流 改变分式的分子、分母及分式本身的符号中的任何两个,分式的值______.

答案： 1. 对于$\frac{-2a}{3b}$：
根据分式的基本性质，$\frac{-2a}{3b}=-\frac{2a}{3b}$。
2. 对于$\frac{3x}{-2y}$：
根据分式的基本性质，$\frac{3x}{-2y}=-\frac{3x}{2y}$。
3. 对于$-\frac{2x}{-3y}$：
根据分式的基本性质，$-\frac{2x}{-3y}=\frac{2x}{3y}$（因为$-\frac{2x}{-3y}=(-1)×\frac{2x}{-3y}$，分子分母同乘$-1$，$(-1)×\frac{2x}{-3y}=\frac{(-1)×2x}{(-1)×(-3y)}=\frac{2x}{3y}$）。
4. 对于$\frac{-3x}{-2y}$：
根据分式的基本性质，$\frac{-3x}{-2y}=\frac{3x}{2y}$（因为$\frac{-3x}{-2y}=\frac{(-1)×3x}{(-1)×2y}$，分子分母的$-1$约掉）。
方法归纳交流：
改变分式的分子、分母及分式本身的符号中的任何两个，分式的值**不变**。
故答案依次为：$-\frac{2a}{3b}$；$-\frac{3x}{2y}$；$\frac{2x}{3y}$；$\frac{3x}{2y}$；不变。