《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 计算$(a^{3})^{2}$的结果是(D)
A.$6a$
B.$3a^{2}$
C.$2a^{3}$
D.$a^{6}$

答案： D

2. 计算$(3x^{3})^{3}$的结果是(D)
A.$9x^{9}$
B.$9x^{6}$
C.$27x^{6}$
D.$27x^{9}$

答案： D

3. 比较大小：$2^{5}$＜$4^{3}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).

答案： ＜

4. 计算下列各题：(1)$-(y^{m})^{5}$；(2)$(a^{4})^{3}$；(3)$(-4a^{3})^{2}$；(4)$(-2x^{2}y)^{5}$.

答案： 4.解:
(1)$-y^{5m}.$
(2)$a^{12}.$
(3)$16a^{6}.$
(4)$-32x^{10}y^{5}.$

题型1 下列等式中,能成立的有(①②③)
①$a^{2m}= (a^{2})^{m}$；②$a^{2m}= (-a^{m})^{2}$；③$a^{2m}= (a^{m})^{2}$；④$a^{2m}= (-a^{2})^{m}$.
A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$1$个

答案： 题型1
本题可根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$以及积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$来逐一分析等式：
①根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$(a^{2})^{m}=a^{2× m}=a^{2m}$，所以$a^{2m}=(a^{2})^{m}$成立。
②根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(-a^{m})^{2}=(-1)^2×(a^{m})^{2}=a^{2m}$，所以$a^{2m}=(-a^{m})^{2}$成立。
③根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$(a^{m})^{2}=a^{m×2}=a^{2m}$，所以$a^{2m}=(a^{m})^{2}$成立。
④当$m$为偶数时，$(-a^{2})^{m}=a^{2m}$；当$m$为奇数时，$(-a^{2})^{m}=-a^{2m}$，所以$a^{2m}=(-a^{2})^{m}$不一定成立。
综上，①②③成立，能成立的有$3$个，答案是B。

题型2 计算：(1)$(a^{4})^{2}+a^{6}\cdot a^{2}$；
(2)$(-a^{2})^{2}\cdot a^{4}-(-5a^{4})^{2}$；
(3)$a^{3}\cdot (-b^{3})^{2}+(-2ab^{2})^{3}$.

答案： 1. 计算$(a^{4})^{2}+a^{6}\cdot a^{2}$：
解：
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，可得$(a^{4})^{2}=a^{4×2}=a^{8}$；
根据同底数幂相乘公式$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，可得$a^{6}\cdot a^{2}=a^{6 + 2}=a^{8}$；
则$(a^{4})^{2}+a^{6}\cdot a^{2}=a^{8}+a^{8}=2a^{8}$。
2. 计算$(-a^{2})^{2}\cdot a^{4}-(-5a^{4})^{2}$：
解：
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(-a^{2})^{2}=(-1)^{2}\cdot(a^{2})^{2}=a^{4}$，$(-5a^{4})^{2}=(-5)^{2}\cdot(a^{4})^{2}=25a^{8}$；
根据同底数幂相乘公式$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，$(-a^{2})^{2}\cdot a^{4}=a^{4}\cdot a^{4}=a^{4 + 4}=a^{8}$；
则$(-a^{2})^{2}\cdot a^{4}-(-5a^{4})^{2}=a^{8}-25a^{8}=-24a^{8}$。
3. 计算$a^{3}\cdot (-b^{3})^{2}+(-2ab^{2})^{3}$：
解：
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(-b^{3})^{2}=(-1)^{2}\cdot(b^{3})^{2}=b^{6}$，$(-2ab^{2})^{3}=(-2)^{3}\cdot a^{3}\cdot(b^{2})^{3}=-8a^{3}b^{6}$；
根据同底数幂相乘公式$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，$a^{3}\cdot (-b^{3})^{2}=a^{3}b^{6}$；
则$a^{3}\cdot (-b^{3})^{2}+(-2ab^{2})^{3}=a^{3}b^{6}-8a^{3}b^{6}=-7a^{3}b^{6}$。
综上，答案依次为：
(1)$2a^{8}$；
(2)$-24a^{8}$；
(3)$-7a^{3}b^{6}$。

题型3 (1)已知$a^{x}= 2$,$a^{y}= 3$,求$a^{2x+y}$.
(2)已知$x^{n}= 2$,$y^{n}= 3$,求$(x^{2}y)^{2n}$的值.

答案： 1. （1）
解：
根据幂的运算法则：$a^{m + n}=a^{m}\cdot a^{n}$，$a^{mn}=(a^{m})^{n}$。
对于$a^{2x + y}$，可变形为$a^{2x}\cdot a^{y}$。
又因为$a^{2x}=(a^{x})^{2}$，已知$a^{x}=2$，$a^{y}=3$。
所以$a^{2x}\cdot a^{y}=(a^{x})^{2}\cdot a^{y}$。
把$a^{x}=2$，$a^{y}=3$代入上式得：$(a^{x})^{2}\cdot a^{y}=2^{2}×3$。
计算$2^{2}×3 = 4×3=12$。
2. （2）
解：
根据幂的运算法则：$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，$(a^{m})^{n}=a^{mn}$。
对于$(x^{2}y)^{2n}$，先根据$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$可得$(x^{2}y)^{2n}=(x^{2})^{2n}\cdot y^{2n}$。
再根据$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(x^{2})^{2n}=x^{4n}=(x^{n})^{4}$，$y^{2n}=(y^{n})^{2}$。
已知$x^{n}=2$，$y^{n}=3$。
所以$(x^{2}y)^{2n}=(x^{n})^{4}\cdot(y^{n})^{2}$。
把$x^{n}=2$，$y^{n}=3$代入上式得：$(x^{n})^{4}\cdot(y^{n})^{2}=2^{4}×3^{2}$。
计算$2^{4}×3^{2}=16×9 = 144$。
综上，（1）$a^{2x + y}=12$；（2）$(x^{2}y)^{2n}=144$。

题型4 比较$3^{55}$,$4^{44}$,$5^{33}$的大小.

答案： 解：
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$
$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$
因为$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$。

题型5 已知$32^{m}= 4× 2^{2n - 1}$,$3^{n}= 9^{m}$,求$m$,$n$的值.

答案： 解：
因为$32^{m}=(2^{5})^{m}=2^{5m}$，$4×2^{2n - 1}=2^{2}×2^{2n - 1}=2^{2 + 2n - 1}=2^{2n + 1}$，
又因为$32^{m}=4×2^{2n - 1}$，所以$2^{5m}=2^{2n + 1}$，则$5m = 2n + 1$ ①。
因为$3^{n}=9^{m}=(3^{2})^{m}=3^{2m}$，所以$n = 2m$ ②。
将②代入①得：$5m=2×(2m)+1$，
$5m = 4m + 1$，
$5m-4m=1$，
解得$m = 1$。
把$m = 1$代入②得：$n = 2×1 = 2$。
综上，$m = 1$，$n = 2$。

题型6 回答下列问题：
(1)填空：①$(2× 3)^{2}= $______；②$2^{2}× 3^{2}= $______；
③$(-\frac{1}{2}× 8)^{2}= $______；④$(-\frac{1}{2})^{2}× 8^{2}= $______；
⑤$(-\frac{1}{2}× 2)^{3}= $______；⑥$(-\frac{1}{2})^{3}× 2^{3}= $______.
(2)想一想：(1)中每组中的两个算式的结果是否相等？______.
(3)猜一猜：当$n$为正整数时,$a^{n}b^{n}= $______.
(4)试一试：$(1\frac{1}{2})^{2025}× (-\frac{2}{3})^{2025}$的结果是多少？

答案： 1. 计算各空：
①$(2×3)^{2}=6^{2}=36$；
②$2^{2}×3^{2}=4×9 = 36$；
③$(-\frac{1}{2}×8)^{2}=(-4)^{2}=16$；
④$(-\frac{1}{2})^{2}×8^{2}=\frac{1}{4}×64 = 16$；
⑤$(-\frac{1}{2}×2)^{3}=(-1)^{3}=-1$；
⑥$(-\frac{1}{2})^{3}×2^{3}=-\frac{1}{8}×8=-1$。
2. （2）中每组中的两个算式的结果相等。
3. （3）当$n$为正整数时，$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$（积的乘方公式）。
4. （4）解：
对于$(1\frac{1}{2})^{2025}×(-\frac{2}{3})^{2025}$，先将$1\frac{1}{2}$化为$\frac{3}{2}$。
根据$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$（这里$a = \frac{3}{2}$，$b=-\frac{2}{3}$，$n = 2025$），则$(1\frac{1}{2})^{2025}×(-\frac{2}{3})^{2025}=(\frac{3}{2})^{2025}×(-\frac{2}{3})^{2025}$。
所以$(\frac{3}{2})^{2025}×(-\frac{2}{3})^{2025}=[\frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})]^{2025}$。
因为$\frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})=-1$，所以$[\frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})]^{2025}=(-1)^{2025}$。
由于$2025$是奇数，根据$(-1)^{n}$的性质（$n$为奇数时，$(-1)^{n}=-1$），则$(-1)^{2025}=-1$。
综上，（1）①$36$；②$36$；③$16$；④$16$；⑤$-1$；⑥$-1$；（2）相等；（3）$(ab)^{n}$；（4）$-1$。