《2025年资源与评价黑龙江教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图,甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片,则卡片中的式子是分式的有(B)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

2. 当 $ x $ 取何值时,$ \frac{x + 5}{3 - 2x} $ 有意义？

答案： 解:当分母3-2x≠0,即x≠$\frac{3}{2}$时,分式$\frac{x+5}{3-2x}$有意义.

3. 当 $ x $ 满足什么条件时,$ \frac{x - 2}{2x - 6} = 0 $？

答案： 解:当$\begin{cases}x-2=0,\\2x-6≠0,\end{cases}$即x=2时,分式的值等于0.

题型 1 假设每个人的工作效率一样,若 $ m $ 个人完成某项工程需要 $ a $ 天,则 $ (m + n) $ 个人完成此项工程需要的天数为(A)
A.$ \frac{ma}{m + n} $
B.$ \frac{a}{m + n} $
C.$ a + m $
D.$ \frac{m + n}{am} $

答案： 题型1
- 设每人每天的工作量为$1$份。
- 因为$m$个人完成某项工程需要$a$天，那么总的工作量为$m× a = ma$份。
- 现在有$(m + n)$个人，设需要$x$天完成此项工程，则可列方程$(m + n)× x=ma$。
- 求解$x$，$x = \frac{ma}{m + n}$。
所以答案是A。
题型2
- 分式$\frac{\vert x\vert - 3}{x - 3}$的值为$0$，根据分式值为$0$的条件：
分子$\vert x\vert - 3 = 0$，即$\vert x\vert=3$，解得$x=\pm3$。
分母$x - 3\neq0$，即$x\neq3$。
综上，$x=-3$。
分式的值为零的条件：分子等于$0$且分母不等于$0$。
题型3
- 对于分式$\frac{2x - 1}{x^{2}+1}$，因为$x^{2}\geqslant0$，所以$x^{2}+1\geqslant1$，即分母$x^{2}+1$永远不会为$0$。
所以无论$x$为何值，分式$\frac{2x - 1}{x^{2}+1}$都有意义，小红的答案正确。
题型4
- 要使分式$\frac{x + 2}{x - 4}$的值为正，根据两数相除，同号得正，异号得负。
则有$\begin{cases}x + 2＞0\\x - 4＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x + 2＜0\\x - 4＜0\end{cases}$。
解$\begin{cases}x + 2＞0\\x - 4＞0\end{cases}$：
$x+2＞0$，解得$x＞-2$；$x - 4＞0$，解得$x＞4$，取交集得$x＞4$。
解$\begin{cases}x + 2＜0\\x - 4＜0\end{cases}$：
$x+2＜0$，解得$x＜-2$；$x - 4＜0$，解得$x＜4$，取交集得$x＜-2$。
所以当$x＞4$或$x＜-2$时，分式$\frac{x + 2}{x - 4}$的值为正。
两数相除，同号得正，异号得负。
综上，题型1答案为A；题型2答案为$-3$，分子等于$0$且分母不等于$0$；题型3小红正确，因为$x^{2}+1\geqslant1$分母不为$0$；题型4当$x＞4$或$x＜-2$时，分式值为正，正，负。

题型 2 若分式 $ \frac{|x| - 3}{x - 3} $ 的值为 0,则 $ x $ 的值为______.
方法归纳交流 分式的值为零的条件有两个：______,两者缺一不可.

答案： 1. 首先分析分式值为$0$的条件：
对于分式$\frac{A}{B}$（$A = |x|-3$，$B = x - 3$），分式值为$0$的条件是$A = 0$且$B\neq0$。
2. 然后求解$A = 0$时$x$的值：
由$|x|-3 = 0$，根据绝对值的定义$|a|=\begin{cases}a(a\geq0)\\-a(a\lt0)\end{cases}$，则$|x| = 3$，即$x=\pm3$。
3. 接着根据$B\neq0$对$x$的值进行筛选：
当$x = 3$时，分母$x - 3=3 - 3 = 0$，不满足分式有意义的条件（分母不为$0$）；
当$x=-3$时，分母$x - 3=-3 - 3=-6\neq0$。
所以$x$的值为$-3$。
方法归纳交流：分式的值为零的条件有两个：分子等于$0$且分母不等于$0$，两者缺一不可。
故答案依次为：$-3$；分子等于$0$且分母不等于$0$。

题型 3 对于问题：当 $ x $ 为何值时,分式 $ \frac{2x - 1}{x^2 + 1} $ 有意义？小明的答案是当 $ x \neq 0 $ 时,分式 $ \frac{2x - 1}{x^2 + 1} $ 有意义；小红的答案是无论 $ x $ 为何值,分式都有意义. 你认为这两位同学的答案谁的正确？为什么？

答案： 解：
要使分式有意义，则分母不能为$0$。
对于分式$\frac{2x - 1}{x^2 + 1}$，其分母为$x^2 + 1$。
因为$x^2\geq0$，所以$x^2 + 1\geq1$，即$x^2 + 1$恒大于$0$。
所以无论$x$取何值，分母$x^2 + 1$都不为$0$，分式$\frac{2x - 1}{x^2 + 1}$都有意义。
因此，小红的答案正确。

题型 4 当 $ x $ 为何值时,分式 $ \frac{x + 2}{x - 4} $ 的值为正？
方法归纳交流 解决分式值为正或负的问题时,首先要看清已知分式中的分子和分母的值,然后再根据两数相除,同号得______,异号得______,从而建立关于未知数的不等式(组),求出未知数的范围.

答案： 1. 首先明确两数相除的符号法则：
两数相除，同号得正，异号得负。
2. 然后根据分式$\frac{x + 2}{x - 4}$的值为正建立不等式组：
因为分式$\frac{x + 2}{x - 4}$的值为正，所以$\left\{\begin{array}{l}x + 2\gt0\\x - 4\gt0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x + 2\lt0\\x - 4\lt0\end{array}\right.$。
解不等式组$\left\{\begin{array}{l}x + 2\gt0\\x - 4\gt0\end{array}\right.$：
解不等式$x + 2\gt0$，得$x\gt - 2$；
解不等式$x - 4\gt0$，得$x\gt4$；
根据“同大取大”，所以此不等式组的解集为$x\gt4$。
解不等式组$\left\{\begin{array}{l}x + 2\lt0\\x - 4\lt0\end{array}\right.$：
解不等式$x + 2\lt0$，得$x\lt - 2$；
解不等式$x - 4\lt0$，得$x\lt4$；
根据“同小取小”，所以此不等式组的解集为$x\lt - 2$。
综上，当$x\gt4$或$x\lt - 2$时，分式$\frac{x + 2}{x - 4}$的值为正。两数相除，同号得正，异号得负。