《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

2. 如图3,已知⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,点P为$\widehat{ED}$上的一点,求∠APC的度数.

答案： 解：连接OA、OC。
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC=360°÷5×2=144°。
∵点P在⊙O上，
∴∠APC=1/2∠AOC=72°。
答：∠APC的度数为72°。

3. 下面是数学学习小组研究性学习报告的部分内容,请认真阅读,并完成相应任务.

任务单:
任务1:等边半正六边形相邻两个内角的和为240度.
任务2:如图6,六边形ABCDEF是等边半正六边形. 连接对角线AD,猜想∠BAD与∠FAD的数量关系,并说明理由.
任务3:如图7,已知△ACE是正三角形,⊙O是它的外接圆. 请在图7中作一个等边半正六边形ABCDEF(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).

任务2：猜想：∠BAD=∠FAD。理由：因为六边形ABCDEF是等边半正六边形，所以AB=AF，BC=EF，∠B=∠F。因为BC=CD=DE=EF，所以BC+CD=EF+DE，即BD=FD。在△ABD和△AFD中，AB=AF，∠B=∠F，BD=FD，所以△ABD≌△AFD（SAS），所以∠BAD=∠FAD。
任务3：（作图痕迹略，主要是分别作$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{CE}$，$\overset{\frown}{EA}$的垂直平分线，分别交$\odot O$于点B，D，F，顺次连接A，B，C，D，E，F）

答案： 任务1
根据多边形内角和公式$S=(n - 2)×180^{\circ}$（$n$为边数，$n\geqslant 3$且$n$为整数），对于六边形$n = 6$，则内角和$S=(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
设等边半正六边形相间的内角分别为$\angle A=\angle C=\angle E = x$，$\angle B=\angle D=\angle F = y$，则$3x + 3y=720^{\circ}$，两边同时除以$3$得$x + y = 240^{\circ}$，即相邻两个内角的和为$240$度。
任务2
- **猜想**：$\angle BAD=\angle FAD$。
- **理由**：
解：因为六边形$ABCDEF$是等边半正六边形，所以$AB = AF$，$BC = EF$，$\angle B=\angle F$。
在$\triangle ABD$和$\triangle AFD$中，$\begin{cases}AB = AF\\\angle B=\angle F\\BD = FD\end{cases}$（因为$BC = CD = DE = EF$，所以$BC + CD=EF + DE$，即$BD = FD$）。
根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle AFD$。
根据全等三角形的性质（全等三角形对应角相等），所以$\angle BAD=\angle FAD$。
任务3
- 分别作$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{CE}$，$\overset{\frown}{EA}$的垂直平分线，分别交$\odot O$于点$B$，$D$，$F$，顺次连接$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，则六边形$ABCDEF$即为所求的等边半正六边形（尺规作图痕迹略，主要是作弧的垂直平分线）。
综上，任务1答案为$\boldsymbol{240}$；任务2$\angle BAD=\angle FAD$（理由见上述）；任务3按上述方法作图。