《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

3. 如图9,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3),它的对称轴是直线$ x= -\frac{1}{2} $.
(1)求抛物线的解析式;
(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求M点的坐标.

答案：
(1)设抛物线的解析式为$y = ax^2+bx + c$，
由题意得$\begin{cases}4a + 2b + c=0\\c = 3\\-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\\c = 3\end{cases}$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x + 3$。
(2)令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x + 3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-3$，$\therefore B(-3,0)$，$A(2,0)$，$C(0,3)$，
$\therefore BC=\sqrt{(-3 - 0)^2+(0 - 3)^2}=3\sqrt{2}$。
①当$MB = MC$时，设$M(m,0)$，
则$(m + 3)^2=(m - 0)^2+(0 - 3)^2$，
解得$m = 0$，$\therefore M(0,0)$。
②当$BC=BM$时，$BM=3\sqrt{2}$，
$\because B(-3,0)$，$\therefore M(-3 + 3\sqrt{2},0)$。
③当$BC=MC$时，$MC=3\sqrt{2}$，
则$\sqrt{(m - 0)^2+(0 - 3)^2}=3\sqrt{2}$，
解得$m = 3$或$m=-3$（舍去），$\because M$在线段$AB$上，$A(2,0)$，$3＞2$，$\therefore$舍去。
综上，$M$点的坐标为$(0,0)$或$(-3 + 3\sqrt{2},0)$。

4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图10),拱高6 m,跨度20 m,相邻两支柱间的距离均为5 m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11),其表达式为$ y= ax^2+c $的形式,请根据所给的数据求出a,c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.

答案：
(1)解：由题意知抛物线顶点C坐标为(0,6)，点B坐标为(10,0)。
将C(0,6)代入$y=ax^2+c$，得$c=6$。
将B(10,0)代入$y=ax^2+6$，得$0=a×10^2 + 6$，解得$a=-\frac{3}{50}$。
(2)解：由题意得支柱N在x=5处。
当x=5时，$y=-\frac{3}{50}×5^2 + 6=-\frac{3}{50}×25 + 6=-1.5 + 6=4.5$。
支柱MN长度为10 - 4.5=5.5m。
(3)解：能。理由如下：
隔离带宽2m，一条行车道宽为$(20 - 2)÷2=9m$。
三辆汽车总宽为$3×2=6m$，$6＜9$，且汽车在行车道中间行驶时，最右侧汽车右边缘距y轴距离为$1 + 6=7m$。
当x=7时，$y=-\frac{3}{50}×7^2 + 6=-\frac{3}{50}×49 + 6=-2.94 + 6=3.06m$。
因为$3.06＞3$，所以能并排行驶。