《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

3. 如图6,△ABC≌△ADE,∠C与∠AED都是直角,点E在AB上,∠D= 30°,那么△ABC绕着点A逆时针方向旋转60度能与△ADE重合.

答案： A
60
120

4. 如图7,△ABC绕点A旋转后到达△ADE处,若∠BAC= 120°,∠BAD= 30°,则∠DAE= 120度,∠CAE= 30度.

答案： 120
30

5. 如图8,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕着点B顺时针方向旋转与△CBP'重合,若PB= 3,则PP'= $3\sqrt{2}$.

答案： $3\sqrt {2}$

1. 如图9,四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形,连接EC,BG,试说明EC与BG的数量关系(建议先用旋转的视角观察,再用三角形全等的方法说明).

答案： 证明：
∵四边形$ABDE$和四边形$ACFG$都是正方形，
∴$AE = AB$，$AC = AG$，且$\angle EAB = \angle GAC = 90^\circ$，
∴$\angle EAC = \angle GAB$，
在$\triangle EAC$和$\triangle GAB$中，
$\left\{ \begin{array}{l} AE = AB, \\ \angle EAC = \angle GAB, \\ AC = AG. \end{array} \right.$
∴$\triangle EAC \cong \triangle GAB$（SAS），
∴$EC = BG$。

2. 如图10,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,M,M'分别是AB,A'B'的中点,若AC= 4,BC= 2,求线段MM'的长.

答案： 1. 首先，连接$CM$，$CM'$：
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，已知$AC = 4$，$BC = 2$，则$AB=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为$M$是$AB$的中点，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，所以$CM=\frac{1}{2}AB$，同理$CM'=\frac{1}{2}A'B'$。
由于$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C$（旋转的性质：旋转前后的图形全等），所以$AB = A'B'$，则$CM = CM'$，且$CM=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
又因为$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A'B'C$，$M$，$M'$分别是$AB$，$A'B'$的中点，所以$\angle MCM'=90^{\circ}$（旋转角为$90^{\circ}$，对应线段的中线与旋转中心所成角也为$90^{\circ}$）。
2. 然后，在$Rt\triangle MCM'$中：
根据勾股定理$MM'=\sqrt{CM^{2}+CM'^{2}}$，因为$CM = CM'=\sqrt{5}$。
所以$MM'=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}$。
由$(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}=5 + 5=10$，则$MM'=\sqrt{10}$。
故线段$MM'$的长为$\sqrt{10}$。