《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

2. 根据第1题结果填空:
二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象的顶点坐标是$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$,对称轴是直线$x=-\dfrac{b}{2a}$.
(1)当$a＞0$时,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$开口向上,顶点是最低点;当$x＜$$-\dfrac{b}{2a}$时,$y随x$的增大而减小;当$x＞$$-\dfrac{b}{2a}$时,$y随x$的增大而增大;当$x= $$-\dfrac{b}{2a}$时,$y$有最小值,是$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$.
(2)当$a＜0$时,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$开口向下,顶点是最高点;当$x＜$$-\dfrac{b}{2a}$时,$y随x$的增大而增大;当$x＞$$-\dfrac{b}{2a}$时,$y随x$的增大而减小;当$x= $$-\dfrac{b}{2a}$时,$y$有最大值,是$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$.

答案： 解：二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象的顶点坐标是$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$,对称轴是直线$x=-\dfrac{b}{2a}$.
(1)当$a＞0$时,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$开口向上,顶点是最低点;当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而减小;当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x=-\dfrac{b}{2a}$时,$y$有最小值,是$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$.
(2)当$a＜0$时,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$开口向下,顶点是最高点;当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时,$y$随$x$的增大而减小;当$x=-\dfrac{b}{2a}$时,$y$有最大值,是$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$.

3. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)与x轴的交点A(-2,0),B(1,0)$,且经过点$C(2,8)$.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标.

答案： 解：　　
$(1)$将$A(-2，$$0)，$$B(1，$$0)，$$C(2，$$8)$代入，得　　
$ {{\begin{cases} { {4a-2b+c=0}} \\{a+b+c=0} \\ {4a+2b+c=8} \end{cases}}}$　　
$ $解得，${{\begin{cases} { {a=2}} \\{b=2} \\ {c=-4} \end{cases}}}$　　
∴该抛物线的解析式为$y=2{x}^{2}+2x-4$　　
$ (2)y=2{x}^{2}+2x-4=2({x}^{2}+x-2)=2{(x+\frac 1 2)}^{2}-\frac 9 2$　　
∴该抛物线的顶点坐标为$(-\frac 1 2，$$-\frac 9 2)$　　

4. 如图5,已知抛物线$y= -x^{2}+mx+3与x轴交于A,B$两点,与$y轴交于点C$,点$B的坐标为(3,0)$.
(1)求$m$的值及抛物线的顶点坐标;
(2)点$P$是抛物线对称轴上的一个动点,当$PA+PC$的值最小时,求点$P$的坐标.

答案： 解：　　
$(1)$把点$B$的坐标$(3，$$0)$代入抛物线$y=-{x}^{2}+mx+3，$得　　
$ 0=-{3}^{2}+3m+3$　　
$ $解得，$m=2$　　
∴$y=-{x}^{2}+2x+3=-{(x-1)}^{2}+4$　　
∴顶点坐标为$(1，$$4)$　　
$(2)$连接$BC$交抛物线对称轴于点$P，$则此时$PA+PC$的值最小，　　
$ $由　　
$(1)$得$C(0，$$3)，$设直线$BC$的解析式为$y=kx+b，$　　
$ $将点$C，$$B$坐标代入解析式，得${{\begin{cases} {{0=3k+b}} \\ {3=b} \end{cases}}}$　　
$ $解得${{\begin{cases} {{k=-1}} \\ {b=3} \end{cases}}}$　　
∴直线$BC$的解析式为$y=-x+3$　　
$ $当$x=1$时，$y=-1+3=2$　　
∴当$PA+PC$的值最小时，点$P$的坐标为$(1，$$2)$