《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

1. 现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图7所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求,OE= 10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.

答案：
(1)$y = -\frac{9}{25}(x - 5)^{2} + 9$；
(2)$A\left(\frac{10 - 5\sqrt{3}}{3},6\right),B\left(\frac{10 + 5\sqrt{3}}{3},6\right)$。

2. 一次足球训练中,小星从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图8所示直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)通过计算判断球能否射进球门(其他因素忽略).

答案： 1. （1）
解：已知抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 2)^{2}+3$。
因为点$A(8,0)$在抛物线上，把$x = 8$，$y = 0$代入$y=a(x - 2)^{2}+3$中，得：
$0=a(8 - 2)^{2}+3$。
即$0 = 36a+3$。
移项可得$36a=-3$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
所以抛物线的函数表达式为$y =-\frac{1}{12}(x - 2)^{2}+3$，展开$y =-\frac{1}{12}(x^{2}-4x + 4)+3=-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$。
2. （2）
解：当$x = 0$时，把$x = 0$代入$y =-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$中，得$y=\frac{8}{3}\approx2.67$。
因为$2.67\gt2.44$。
所以：
(1) 抛物线的函数表达式为$y =-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$；
(2) 球不能射进球门。