《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册人教版》

1. 把一个正五边形绕着它的中心至少旋转72度才能和原来的图形重合.

答案： $72$

2. 已知△ABC中,∠A:∠B:∠C= 1:2:3,且最短边长为a,则它的外接圆的周长等于2πa,它的内切圆半径等于(√3-1)a/2(结果保留π与根号).

答案： 2πa；(√3-1)a/2.

3. 边长为a的正六边形的内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

4. 如图1,⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D,则劣弧$\widehat{BD}$所对的圆心角∠BOD的大小为144度.

答案： 解：
∵ABCDE是正五边形，
∴每个内角为 $\frac{(5-2)×180^\circ}{5}=108^\circ$，每个中心角为 $\frac{360^\circ}{5}=72^\circ$。
∵AB、DE与⊙O相切于点B、D，
∴OB⊥AB，OD⊥DE，即∠OBA=∠ODE=90°。
在五边形ABCDE中，∠ABC=∠CDE=108°，
∴∠OBC=∠ABC - ∠OBA=108° - 90°=18°，
∠ODC=∠CDE - ∠ODE=108° - 90°=18°。
在△OBC和△ODC中，OB=OC=OD（半径），BC=CD（正五边形边长），
∴△OBC≌△ODC（SSS），∠BOC=∠DOC。
在△OBC中，∠BOC=180° - 2×18°=144°，
∴∠BOD=∠BOC + ∠DOC=2×144°=288°。
∵劣弧$\widehat{BD}$所对圆心角小于360°，
∴∠BOD=360° - 288°=144°。
144

1. 正六边形的内切圆的半径为r,求这个正六边形的面积.

答案： 解：设正六边形的中心为O，边长为a，连接OA、OB，过O作OH⊥AB于H。
∵正六边形的内切圆半径为r，
∴OH = r。
∵正六边形的中心角∠AOB = 360°/6 = 60°，OA = OB，
∴△OAB为等边三角形，∠OAH = 60°。
在Rt△OAH中，sin∠OAH = OH/OA，cos∠OAH = AH/OA，OA = a，
∴sin60° = r/a，cos60° = AH/a，
∴a = r / sin60° = 2r/√3，AH = a·cos60° = (2r/√3)·1/2 = r/√3，
∴AB = 2AH = 2r/√3。
S△OAB = 1/2·AB·OH = 1/2·(2r/√3)·r = r²/√3。
∵正六边形由6个全等的△OAB组成，
∴S正六边形 = 6·S△OAB = 6·(r²/√3) = 2√3 r²。
答：这个正六边形的面积为2√3 r²。

2. 如图2,正方形ABCD的边长为4,剪去四个角后成为一个正八边形,求这个正八边形的边长和面积.

答案： 解：设正八边形的边长为a，
则$a+\frac {\sqrt {2}}2a×2=4$
解得，$a=4\sqrt {2}-4$
小直角三角形的边长：$\frac {\sqrt {2}}2×(4\sqrt {2}-4)=4-2\sqrt {2}$
正八边形的面积：$4×4-4×\frac 1 2×{(4-2\sqrt {2})}^{2}$
$ =16-2×(24-16\sqrt {2})$
$ =32\sqrt {2}-32$
∴正八边形的边长为$4\sqrt {2}-4，$面积为$32\sqrt {2}-32$