《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

22. (8分)如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF,求证:
(1)EF⊥AB;
(2)△ACF为等腰三角形.

答案：
(1)
∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=72°.又
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=36°,
∴∠BAD=∠ABD,
∴AD=BD.又
∵E是AB的中点,
∴DE⊥AB,即EF⊥AB.
(2)
∵EF⊥AB,AE=BE,
∴EF垂直平分AB,
∴AF=BF,
∴∠BAF=∠ABF.又
∵∠ABD=∠BAD,
∴∠FAD=∠FBD=36°.又
∵∠ACB=72°,
∴∠AFC=∠ACB-∠CAF=36°,
∴∠CAF=∠AFC=36°,
∴AC=CF,即△ACF为等腰三角形.

23. (8分)如图,在△ABC中,AB= AC,BC= 6,点P从点B出发沿射线BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P,Q移动的速度相同,连接PQ,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求证:PD= DQ.
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P,Q在移动的过程中,线段ED的长度是否保持不变?请说明理由.

答案：

(1)如图①,过点P作PF//AQ,交BC于点F,
∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠Q.
∵点P和点Q同时出发,且移动的速度相同,
∴BP=CQ.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠PFB,
∴BP=PF=CQ.
∵∠PDF=∠QDC,
∴△DPF≌△DQC(AAS),
∴PD=DQ.
(2)线段ED的长度保持不变.理由如下:分两种情况:①若点P在线段AB上,如图②,过点P作PF//AC交BC于点F.与
(1)同理可知,PB=PF,△DPF≌△DQC,
∴DF=DC.
∵PE⊥BC,
∴BE=EF,
∴ED=EF+FD=BE+DC=$\frac{1}{2}$BC=3.
②若点P在线段BA的延长线上,如图③,过点P作PM//AC交BC的延长线于点M,
∴∠M=∠ACB.又
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠M,
∴PM=PB=CQ.
∵PE⊥BM,
∴BE=EM.
∵PM//AC,
∴∠MPD=∠CQD.又
∵∠PDM=∠CDQ,
∴△PMD≌△QCD,
∴MD=CD.
∵BE=EM,CD=DM,
∴ED=EM-DM=$\frac{BC+CM}{2}$-DM=$\frac{BC}{2}$+$\frac{CM}{2}$-DM=3+DM-DM=3.综上所述，线段ED的长度为3,保持不变.