《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

26. (12 分)(2024·石家庄模拟)如图,在平面直角坐标系中,线段 $ AB $ 的端点为 $ A(2,2) $, $ B(4,1) $.直线 $ l:y = x + 2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ C $, $ D $ 两点,动点 $ P $ 从点 $ D $ 出发,沿 $ y $ 轴以每秒 1 个单位长度的速度向下移动,设移动时间为 $ t $ 秒.某同学设计了一个动画:线段 $ AB $ 为蓝色光带,当有动点或动直线经过线段 $ AB $ 时,蓝色光带会变成红色.
(1)求直线 $ AB $ 的表达式.
(2)①若直线 $ l $ 随点 $ P $ 向下平移,当 $ t = 2 $ 时,蓝色光带是否变红?
②点 $ M $ 是直线 $ l $ 上的一点,若点 $ M $ 向下平移 4 个单位长度的过程中,能使蓝色光带变红,求点 $ M $ 的横坐标 $ x_M $ 的取值范围.
(3)当点 $ C $、点 $ P $ 与蓝色光带上的点 $ Q(m,n) $ 三点共线时,直接写出 $ m $ 与 $ t $ 的函数表达式.
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答案： 1. （1）求直线$AB$的表达式：
设直线$AB$的表达式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
把$A(2,2)$，$B(4,1)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}2k + b = 2\\4k + b = 1\end{cases}$。
用$2k + b = 2$减去$4k + b = 1$：
$(2k + b)-(4k + b)=2 - 1$。
$2k + b-4k - b = 1$。
$-2k = 1$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
把$k = -\frac{1}{2}$代入$2k + b = 2$得：$2×(-\frac{1}{2})+b = 2$，即$-1 + b = 2$，解得$b = 3$。
所以直线$AB$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x + 3$。
2. （2）
①当$t = 2$时：
直线$l$向下平移$2$个单位长度后的解析式为$y=x + 2-2=x$。
联立$\begin{cases}y = x\\y=-\frac{1}{2}x + 3\end{cases}$，将$y = x$代入$y=-\frac{1}{2}x + 3$得：$x=-\frac{1}{2}x + 3$。
移项得$x+\frac{1}{2}x = 3$，即$\frac{3}{2}x = 3$，解得$x = 2$，则$y = 2$。
所以直线$y = x$与线段$AB$有交点$(2,2)$，蓝色光带会变红。
②设点$M$的坐标为$(x_M,x_M + 2)$，点$M$向下平移$4$个单位长度后的坐标为$(x_M,x_M - 2)$。
当$y=x_M - 2$过$A(2,2)$时，$2=x_M - 2$，解得$x_M = 4$；
当$y=x_M - 2$过$B(4,1)$时，$1=x_M - 2$，解得$x_M = 3$。
所以$3\leqslant x_M\leqslant4$。
3. （3）
点$C(-2,0)$，点$P(0,2 - t)$。
设直线$CP$的表达式为$y=mx + n$（$m\neq0$），把$C(-2,0)$，$P(0,2 - t)$代入得$\begin{cases}-2m + n = 0\\n = 2 - t\end{cases}$，解得$m=\frac{2 - t}{2}$，所以直线$CP$的表达式为$y=\frac{2 - t}{2}x+(2 - t)$。
因为$Q(m,n)$在$AB$：$y = -\frac{1}{2}x + 3$和$CP$上，所以$-\frac{1}{2}m + 3=\frac{2 - t}{2}m+(2 - t)$。
去分母得$-m + 6=(2 - t)m+2(2 - t)$。
展开得$-m + 6=(2 - t)m + 4-2t$。
移项得$-m-(2 - t)m=4-2t - 6$。
合并同类项得$(-1-2 + t)m=-2 - 2t$，即$(t - 3)m=-2(t + 1)$。
所以$m=\frac{2t + 2}{3 - t}$（$t\neq3$）。
综上，答案依次为：（1）$y = -\frac{1}{2}x + 3$；（2）①会变红；②$3\leqslant x_M\leqslant4$；（3）$m=\frac{2t + 2}{3 - t}(t\neq3)$。