《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

27. (10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 $y = \frac{1}{2}x + 2$ 交 x 轴于点 A、交 y 轴于点 B,直线 $y = -\frac{3}{4}x + b$ 经过点 A,且与 y 轴交于点 C.
(1)点 A 的坐标为(-4,0),b = -3.(直接写出答案)
(2)若点 Q 为 y 轴上任意一点.
①连接 AQ,当∠QAB = 45°时,请求出点 Q 的坐标;
②若点 P 为射线 AO 上任意一点,过点 P 作 x 轴的垂线,分别交直线 AB,AC 于 M,N,当△QMN 为等腰直角三角形时,直接写出点 P 的坐标.

(2)①点 Q 的坐标为$(0,-\frac{4}{3})$或$(0,12)$;②点 P 的坐标为$(-\frac{20}{9},0)$或$(-\frac{20}{13},0)$或$(\frac{20}{3},0)$

答案：
(1)$(-4,0)$ $-3$ 【解析】当 $y=0$ 时,$0=\frac{1}{2}x+2$,
∴ $x=-4$,
∴ $A(-4,0)$.当 $x=-4,y=0$时,$-\frac{3}{4}×(-4)+b=0$,
∴ $b=-3$.
(2)①如图①,当点 Q 在 AB 下方时,过点 B 作 $BE\perp AQ$ 于 E,作 $EF\perp y$ 轴于点 F,作 $AD\perp EF$ 于 D,
∴ $\angle D=\angle BFE=\angle AEB=90^{\circ}$,
∴ $\angle AED+\angle DAE=90^{\circ}$,$\angle AED+\angle BEF=90^{\circ}$,
∴ $\angle DAE=\angle BEF$.
∵ $\angle BAQ=45^{\circ}$,
∴ $\angle ABE=90^{\circ}-\angle BAQ=45^{\circ}$,
∴ $\angle ABE=\angle BAQ$,
∴ $AE=BE$,
∴ $\triangle ADE\cong\triangle EFB(AAS)$,
∴ $AD=EF$,$BF=DE$.设 $E(x,y)$,
∴ $-y=-x$,$2-y=x-(-4)$,
∴ $x=y=-1$,
∴ $E(-1,-1)$.设 AQ 的表达式为 $y=mx+n$,将 $A(-4,0)$,$E(-1,-1)$ 代入得 $\left\{\begin{array}{l} -4m+n=0,\\ -m+n=-1,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} m=-\frac{1}{3},\\ n=-\frac{4}{3},\end{array}\right.$
∴ $y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$,
∴ $Q(0,-\frac{4}{3})$. 如图②,当点 Q 在 AB 上方时,同理可得 $DE=BF$,$AD=EF$,
∴ $x-(-4)=y-2$,$y=-x$,
∴ $x=-3$,$y=3$,
∴ $E(-3,3)$,
∴ $\left\{\begin{array}{l} -4m+n=0,\\ -3m+n=3,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} m=3,\\ n=12,\end{array}\right.$
∴ $y=3x+12$,
∴ $Q(0,12)$.综上所述,点 Q 的坐标为 $(0,-\frac{4}{3})$ 或 $(0,12)$. ②点 P 的坐标为 $(-\frac{20}{9},0)$ 或 $(-\frac{20}{13},0)$ 或 $(\frac{20}{3},0)$.