《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

25.(10分)如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作$AB⊥BD,ED⊥BD$,连接AC,EC.已知$AB= 5,DE= 1,BD= 8$,设$CD= x$.
(1)用含x的代数式表示$AC+CE$的值.
(2)探究:当点C满足什么条件时,$AC+CE$的值最小?最小值是多少?
(3)根据(2)中的结论,请构造图形求代数式$\sqrt {x^{2}+4}+\sqrt {(12-x)^{2}+9}$的最小值.

答案：

(1)由勾股定理得$AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+1}$.
(2)当A,C,E三点共线，即点C在线段BD与线段AE的交点处时，$AC+CE$的值最小，此时$AC+CE=\sqrt{(5+1)^2+8^2}=10$.
(3)如图所示,作$BD=12$,过点B作$AB\perp BD$,过点D作$DE\perp BD$,使$AB=3$,$ED=2$.连接AE交BD于点C,AE的长为代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值.过点A作$AF\perp ED$的延长线于点F,则$AB=DF=3$,$AF=BD=12$,$\therefore AE=\sqrt{12^2+(3+2)^2}=13$,即$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值为13.

26.(12分)新题型 新定义我们规定:三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图①,在$\triangle ABC$中,AO是BC边上的中线,AB与AC的“极化值”就等于$AO^{2}-BO^{2}$的值,可记为$AB\odot AC= AO^{2}-BO^{2}$.
(1)在图①中,若$∠BAC= 90^{\circ },AB= 16,AC= 12,AO$是BC边上的中线,则$AB\odot AC= $____,$OC\odot OA= $____;
(2)如图②,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 8,∠BAC= 120^{\circ }$,求$AB\odot AC,BA\odot BC$的值;
(3)如图③,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,AO$是BC边上的中线,点N在AO上,且$ON= \frac {1}{2}AN$,已知$AB\odot AC= 23,BN\odot BA= 13$,求$\triangle ABC$的面积.

答案：

(1)0 28
(2)如图②,取BC的中点O,连接OA.$\because AB=AC$,$\therefore AO\perp BC$.在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=120^\circ$,$\therefore \angle ABC=30^\circ$.在$\text{Rt}\triangle AOB$中,$AB=8$,$\therefore AO=\frac{1}{2}AB=4$,$\therefore OB=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}$,$\therefore AB\odot AC=AO^2-BO^2=4^2-(\sqrt{48})^2=16-48=-32$.取AC的中点D,连接BD,$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AC=4$,过点B作$BE\perp AC$交CA的延长线于点E,在$\text{Rt}\triangle ABE$中,$\angle BAE=180^\circ-\angle BAC=60^\circ$,$\therefore \angle ABE=90^\circ-\angle BAE=30^\circ$,$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=4$,$\therefore BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}$.在$\text{Rt}\triangle BED$中,由勾股定理得$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{(\sqrt{48})^2+8^2}=\sqrt{112}$,$\therefore BA\odot BC=BD^2-CD^2=(\sqrt{112})^2-4^2=96$.
(3)设$ON=x$,$OB=OC=y$,$\therefore BC=2y$,$AN=2x$.$\because AB\odot AC=23$,$\therefore OA^2-OB^2=23$,$\therefore (3x)^2-y^2=23$ ①.如图③,取AN的中点F,连接BF.则$AF=FN=\frac{1}{2}AN=x$,$\therefore OF=ON+FN=2x$.在$\text{Rt}\triangle BOF$中,由勾股定理得$BF^2=OB^2+OF^2=y^2+4x^2$.$\because BN\odot BA=13$,$\therefore BF^2-FN^2=13$,$\therefore y^2+4x^2-x^2=13$,$\therefore 3x^2+y^2=13$ ②.联立①②得$\begin{cases} (3x)^2-y^2=23, \\ 3x^2+y^2=13, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\sqrt{3}, \\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-\sqrt{3}, \\ y=2 \end{cases}$(不合题意舍去)或$\begin{cases} x=-\sqrt{3}, \\ y=-2 \end{cases}$(不合题意舍去)或$\begin{cases} x=\sqrt{3}, \\ y=-2 \end{cases}$(不合题意舍去).$\therefore BC=4$,$OA=3\sqrt{3}$,$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AO=\frac{1}{2}× 4× 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.