《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

26.(12分)(1)阅读理解:
如图①,在$\triangle ABC$中,若$AB = 8,AC = 12$,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E,使$DE = AD$,再连接BE(或将$\triangle ACD$绕着点D逆时针旋转$180^{\circ}得到\triangle EBD$),把AB,AC,2AD集中在$\triangle ABE$中,体现了转化和化归的数学思想,利用三角形三边的关系即可判断.
中线AD的取值范围是.
(2)问题解决:
如图②,在$\triangle ABC$中,D是BC边上的中点,$DM \perp DN$于点D,DM交AB于点M,DN交AC于点N,连接MN,求证:$BM + CN ＞ MN$.
(3)问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,$\angle B + \angle D = 180^{\circ},CB = CD,\angle BCD = 110^{\circ}$,以C为顶点作一个$55^{\circ}$角,角的两边分别交AB,AD于M,N两点,连接MN,探索线段BM,DN,MN之间的数量关系,并加以证明.

答案：

(1)$2＜AD＜10$ 【解析】$\because AD$是BC边上的中线,$\therefore BD=CD$.在$\triangle ACD$和$\triangle EBD$中,$\left\{\begin{array}{l}CD=BD\\ \angle ADC=\angle EDB\\ AD=ED\end{array}\right.$,$\therefore \triangle ACD\cong \triangle EBD(\text{SAS})$,$\therefore BE=AC=12$.在$\triangle ABE$中,由三角形的三边关系,得$BE - AB＜AE＜BE+AB$,$\therefore 12 - 8＜AE＜12 + 8$,即$4＜AE＜20$,$\therefore 2＜AD＜10$.
(2)延长ND至点F,使$FD=ND$,连接BF,MF,如图①所示.同
(1),得$\triangle BFD\cong \triangle CND(\text{SAS})$,$\therefore BF=CN$.$\because DM\perp DN$,$FD=ND$,$\therefore MF=MN$.在$\triangle BFM$中,由三角形的三边关系,得$BM+BF＞MF$,$\therefore BM+CN＞MN$.
(3)$BM+DN=MN$.证明如下:延长AB至点E,使$BE=DN$,连接CE,如图②所示.$\because \angle ABC+\angle D=180^{\circ}$,$\angle EBC+\angle ABC=180^{\circ}$,$\therefore \angle EBC=\angle D$.在$\triangle EBC$和$\triangle NDC$中,$\left\{\begin{array}{l}BE=DN\\ \angle EBC=\angle D\\ BC=DC\end{array}\right.$,$\therefore \triangle EBC\cong \triangle NDC(\text{SAS})$,$\therefore DN=BE$,$CE=CN$,$\angle ECB=\angle NCD$.$\because \angle BCD=110^{\circ}$,$\angle MCN=55^{\circ}$,$\therefore \angle BCM+\angle NCD=55^{\circ}$,$\therefore \angle ECM=55^{\circ}=\angle MCN$.在$\triangle NCM$和$\triangle ECM$中,$\left\{\begin{array}{l}CN=CE\\ \angle MCN=\angle MCE\\ CM=CM\end{array}\right.$,$\therefore \triangle NCM\cong \triangle ECM(\text{SAS})$,$\therefore MN=ME$.$\because BM+BE=ME$,$\therefore BM+DN=MN$.