《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (7 分) 某学校科技社团成员组装了一艘舰艇模型,并在一条笔直河道内进行往返航行测试,中途设置一个观测点 $P$. 他们根据测试结果绘制了如图所示的函数图象,其中 $t(\min)$ 表示航行时间,$s(m)$ 表示舰艇模型离出发点的距离. 已知水流的速度为 $30m/\min$.
(1) 根据图象回答:在 $OA$ 段,舰艇模型是顺水航行(填“顺”或“逆”);该舰艇模型在静水中的航行速度为120$m/\min$;
(2) 该舰艇模型先后两次经过观测点 $P$ 的时间差为 $1.6\min$,求观察点 $P$ 离出发点的距离.
设点P距离出发点的距离为y m，由(1)可知舰艇模型在静水中的速度为120 m/min，水流速度为30 m/min，去程用时3 min，起点与终点的距离为3×(120 + 30)=450(m)，则点P距离终点的路程为(450 - y)m。设从点P去程到终点用时$t_{1}\ \text{min}$，从终点返程到点P用时$t_{2}\ \text{min}$，依题意有$t_{1}+t_{2}=1.6$。因为$t_{1}=\frac{450 - y}{120 + 30}=\frac{450 - y}{150}$，$t_{2}=\frac{450 - y}{120 - 30}=\frac{450 - y}{90}$，所以$\frac{450 - y}{150}+\frac{450 - y}{90}=1.6$，解得y = 360。答：观察点P离出发点的距离为360 m。

答案：
(1)顺 120 【解析】设顺水速度为$v_{\text{顺}}$，逆水速度为$v_{\text{逆}}$，舰艇模型在静水中的速度为$v_{\text{静}}$，水流速度为$v_{\text{水}}$，
∵$v_{\text{顺}}=v_{\text{水}}+v_{\text{静}}$，$v_{\text{逆}}=v_{\text{静}}-v_{\text{水}}$，
∴$v_{\text{顺}}＞v_{\text{逆}}$.根据题图可知，从起点到终点，即OA，用时3 min，从终点到起点，即AB，用时8 - 3 = 5（min），路程相同，时间越短，速度越大，可知在OA段舰艇模型是顺水航行，设$v_{\text{静}}=x\ \text{m/min}$，$v_{\text{水}}=30\ \text{m/min}$，
∴3×(x + 30)=5×(x - 30)，解得x = 120，故该舰艇模型在静水中的航行速度为120 m/min.
(2)设点P距离出发点的距离为y m，由
(1)可知$v_{\text{静}}=120\ \text{m/min}$，$v_{\text{水}}=30\ \text{m/min}$，去程用时3 min，可以计算出起点与终点的距离为3×(120 + 30)=3×150 = 450(m)，
∴点P距离终点的路程为(450 - y)m.设从点P去程到终点用时$t_{1}\ \text{min}$，从终点返程到点P用时$t_{2}\ \text{min}$，$t_{1}+t_{2}=1.6$，
∴$t_{1}=\frac{450 - y}{120 + 30}=\frac{450 - y}{150}$，$t_{2}=\frac{450 - y}{120 - 30}=\frac{450 - y}{90}$，
∴$\frac{450 - y}{150}+\frac{450 - y}{90}=1.6$，解得y = 360，观察点P离出发点的距离为360 m.

26. (8 分) 如图,$\angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ}$,$M$,$N$ 分别是 $AB$,$CD$ 的中点.
(1) 求证: $MN \perp CD$;
(2) 若 $AB = 50$,$CD = 48$,求 $MN$ 的长.

答案：
(1)
∵∠ACB = ∠ADB = 90°，M，N分别是AB，CD的中点，
∴$CM=\frac{1}{2}AB$，$DM=\frac{1}{2}AB$，
∴MC = MD.
∵N是CD的中点，
∴DN = CN.在△DMN和△CMN中，$\begin{cases}CM = DM\\MN = MN\\DN = CN\end{cases}$，
∴△DMN≌△CMN(SSS)，
∴∠MNC = ∠MND = 90°，
∴MN⊥CD.
(2)
∵AB = 50，
∴DM = CM = 25；
∵CD = 48，MN垂直CD，N是CD的中点，
∴CN = 24，
∴$MN=\sqrt{CM^{2}-CN^{2}}=\sqrt{25^{2}-24^{2}}=7$.