《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

8. 【问题情境】如图①,把一块三角尺(AB= BC,∠ABC= 90°)放入一个“U”形槽中,使三角形的三个顶点A,B,C分别在槽的两壁及底边上滑动,已知∠D= ∠E= 90°,在滑动过程中,小刚发现线段AD与BE始终相等.
小刚的证明过程:∵∠ABC= 90°,∴∠ABD+∠CBE= 90°.
∵∠BAD+∠ABD= 90°,∴∠BAD= ∠CBE.
∵AB= BC,∠D= ∠E= 90°,∴△ABD≌△BCE(AAS),∴AD= BE.
小刚将这个全等模型称为“一线三直角全等形”,请应用该模型解决问题.
【应用内化】
(1)在平面直角坐标系xOy中,已知点P的坐标为(1,2),将点P绕点O顺时针旋转90°后得到点Q,则点Q的坐标为______.
(2)如图②,点F(-2,a)在函数y= 2x+6的图象上,点M(0,m)是y轴正半轴上一动点,连接FM,作∠MFN= 90°,交x轴负半轴于点N(n,0),当点M运动时,求m-n的值.
【拓展延伸】
(3)如图③,y= 2x+6的图象分别交x轴和y轴于A,B两点,点D坐标为(0,-1),点C在直线AB上,连接CD,当CD与y= 2x+6的图象的夹角为45°时,请求出点C的坐标.
(4)在第(3)题的条件下,点E是平面直角坐标系内一点,将点D(0,-1)绕点E顺时针旋转90°后得到点G,点G恰好落在y= 2x+6的图象上.当线段DE最短时,请求出点E的坐标.

答案：
8.
(1)(2,-1)【解析】如图①,过点P作PE⊥y轴于点E,过点Q作QF⊥y轴于点F.
∵∠POQ=90°,
∴∠EOP+∠FOQ=90°.
∵∠EPO+∠EOP=90°,
∴∠FOQ=∠EPO.
∵OP=OQ,
∴△OPE≌△QOF(AAS),
∴OF=EP,QF=OE.
∵P(1,2),
∴QF=OE=2,OF=PE=1,
∴Q(2,-1).

(2)
∵点F(-2,a)在函数y=2x+6的图象上,
∴a=2×(-2)+6=2,
∴F(-2,2).如图②,过点F作FC⊥x轴于点C,作MD⊥FC于点D,同理得△FNC≌△MFD(AAS),
∴MD=FC=2,FD=CN=n+2=m-2,
∴m-n=4.
(3)设C(c,2c+6),过点D作DC'⊥DC交直线AB于点C',过点C作CH⊥y轴交于点H,过点C'作CH'⊥y轴交于点H',如图③.
∵CD与y=2x+6的图象的夹角为45°,DC'⊥DC,
∴∠DCC'=∠DC'C=45°,
∴CD=C'D.
∵点D坐标为(0,-1),
∴DH=2c+6+1=2c+7,CH=-c.同理得△HCD≌△H'DC'(AAS),
∴DH'=CH=-c,H'C'=DH=2c+7,
∴C'(-2c-7,c-1).
∵点C'在y=2x+6的图象上,
∴2(-2c-7)+6=c-1,解得c=$-\frac{7}{5}$,
∴C($-\frac{7}{5}$,$\frac{16}{5}$),C'($-\frac{21}{5}$,$-\frac{12}{5}$),
∴点C的坐标为($-\frac{7}{5}$,$\frac{16}{5}$)或($-\frac{21}{5}$,$-\frac{12}{5}$).
　　　
(4)如图④,由旋转得ED=EG,∠DEG=90°,
∴△DEG是等腰直角三角形,当DG最短时,线段DE最短,当DG⊥直线y=2x+6时,DG的值最小.由
(3)知,C($-\frac{7}{5}$,$\frac{16}{5}$),∠DCC'=45°,
∴△DCG是等腰直角三角形.
∵∠DEG=90°,
∴点E是CD的中点.
∵C($-\frac{7}{5}$,$\frac{16}{5}$),点D坐标为(0,-1),
∴点E的坐标为($-\frac{7}{10}$,$\frac{11}{10}$).