《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (10 分) (1) 问题背景: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B, B C, A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}, \sqrt{10}, \sqrt{13}$, 此三角形的面积为____. 小辉同学在解答这道题时, 先建立一个正方形网格 (每个小正方形的边长为 1), 再在网格中画出格点 $\triangle A B C$ (即 $\triangle A B C$ 三个顶点都在小正方形的顶点处), 如图(1)所示. 这样不需求 $\triangle A B C$ 的高而借用网格就能计算出它的面积, 请你将 $\triangle A B C$ 的面积直接填写在上面的横线上.
(2) 思维拓展: 我们把上述求 $\triangle A B C$ 面积的方法叫作方格构图法. 如果 $\triangle A B C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5} a, \sqrt{8} a, \sqrt{17} a(a＞0)$, 请利用图(2)的正方形网格 (每个小正方形的边长为 $a$ ) 画出相应的 $\triangle A B C$, 并求出它的面积.
(3) 探索创新: 在图(3)的长方形网格中 (每个小长方形的长为 $m$ 、宽为 $n$ ), 若 $\triangle A B C$ 三边的长分别为 $\sqrt{m^2+16 n^2}, \sqrt{9 m^2+4 n^2}, \sqrt{4 m^2+4 n^2}(m＞0, n＞0$, 且 $m \neq n)$, 试运用构图法画出相应的 $\triangle A B C$ 的示意图, 并求出这个三角形的面积.
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答案：

(1)$\frac{7}{2}$ 【解析】根据题意,得$S_{\triangle ABC}=3×3-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3=\frac{7}{2}$.
(2)根据题意,得$AB=\sqrt{5}a=\sqrt{(2a)^2+a^2}$,$BC=\sqrt{8}a=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}$,$AC=\sqrt{17}a=\sqrt{a^2+(4a)^2}$,画图如图①.(画图合理即可)根据题意,$S_{\triangle ABC}=2a×4a-\frac{1}{2}× a×2a-\frac{1}{2}×2a×2a-\frac{1}{2}× a×4a=3a^2$.


(3)根据题意,$AB=\sqrt{m^2+16n^2}=\sqrt{m^2+(4n)^2}$,$BC=\sqrt{9m^2+4n^2}=\sqrt{(3m)^2+(2n)^2}$,$AC=\sqrt{4m^2+4n^2}=\sqrt{(2m)^2+(2n)^2}$,画图如图②.(画图合理即可)根据题意,$S_{\triangle ABC}=3m×4n-\frac{1}{2}× m×4n-\frac{1}{2}×2m×2n-\frac{1}{2}×3m×2n=5mn$.

26. (12 分) 如图(1), 在长方形 $A B C D$ 中, $A B= 5, A D= 12, E$ 为 $A D$ 边上一点, $D E= 4$, 动点 $P$ 从点 $B$ 出发, 沿 $B \rightarrow C \rightarrow D$ 以 2 个单位长度/秒的速度做匀速运动, 设运动时间为 $t$ 秒.
(1) 当 $t$ 为____秒时, $\triangle A B P$ 与 $\triangle C D E$ 全等;
(2) 如图(2), $E F$ 为 $\triangle A E P$ 的高, 当点 $P$ 在 $B C$ 边上运动时, $E F$ 的最小值是____;
(3) 当点 $P$ 在 $E C$ 的垂直平分线上时, 求出 $t$ 的值.
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答案：

(1)2 【解析】当△ABP与△CDE全等时,$\because AB=CD$,$\angle B=\angle D=90^\circ$,$\therefore BP=DE=4$,$\therefore t=\frac{BP}{2}=\frac{4}{2}=2$(秒).
(2)$\frac{40}{13}$ 【解析】$\because S_{\triangle AEP}=\frac{1}{2}AE\cdot AB=\frac{1}{2}×(12-4)×5=20$,$S_{\triangle AEP}=\frac{1}{2}AP\cdot EF$,$\therefore AP$最大时,EF最小,即当点P运动到点C时,EF最小,如图①所示,此时由勾股定理得$AP^2=AC^2=BC^2+AB^2=169$,得AP=AC=13.由$S_{\triangle AEP}=\frac{1}{2}AP\cdot EF=20$,解得$EF=\frac{40}{13}$.

(3)$\because$点P在EC的垂直平分线上,$\therefore PC=PE$.如图②,当点P在BC上时,过点P作PG⊥AD于点G,则PG=5,AG=BP=2t,PC=12-2t,EG=8-2t,在Rt△PGE中,$PE^2=PG^2+EG^2=5^2+(8-2t)^2$,$\therefore(12-2t)^2=5^2+(8-2t)^2$,解得$t=\frac{55}{16}$;当点P在CD上时,记为P',P'E=P'C=2t-12,P'D=17-2t.在Rt△EDP'中,$ED^2+DP'^2=EP'^2$,$\therefore4^2+(17-2t)^2=(2t-12)^2$,解得$t=\frac{161}{20}$.综上所述,当点P在EC的垂直平分线上时,t的值为$\frac{55}{16}$或$\frac{161}{20}$.