《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

26. (10 分) 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图①的“弦图”(史称“赵爽弦图”).
(1) 弦图中包含了一大一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为 $ a $,较短的直角边为 $ b $,斜边长为 $ c $,结合图①,试验证勾股定理;
(2) 如图②,将四个全等的直角三角形紧密地拼接,形成“勾股风车”,已知外围轮廓(粗线)的周长为 24,$ OC = 3 $,求该“勾股风车”图案的面积;
(3) 如图③,将八个全等的直角三角形(外围四个和内部四个)紧密地拼接,记图中正方形 $ ABCD $,正方形 $ EFGH $,正方形 $ MNKT $ 的面积分别为 $ S_{1},S_{2},S_{3} $,若 $ S_{1} + 2S_{2} + S_{3} = 20 $,则 $ S_{2} = $ ____5.

答案：
(1)由题图①可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，
∵S大正方形=c²，S△ABC=$\frac{1}{2}$ab,S小正方形=(a-b)²,
∴c²=4×$\frac{1}{2}$ab+(a-b)²=2ab+a²-2ab+b²,即c²=a²+b²。
(2)已知四个全等的直角三角形，外围轮廓（粗线）的周长为24，OC=3，设AC=x，
∴4AB+4AC=24，即4AB+4x=24，
∴AB=6-x。在Rt△OAB中，AB²=OB²+OA²，OB=OC=3，OA=OC+AC=3+x，
∴(6-x)²=3²+(3+x)²，解得x=1，即AC=1，
∴OA=3+1=4，
∴S△OAB=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴“勾股风车”图案的面积是6×4=24。
(3)5

27. (10 分) (1) 如图①所示,$ P $ 是等边三角形 $ ABC $ 内的一点,连接 $ PA,PB,PC $,将 $ \triangle BAP $ 绕 $ B $ 点顺时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得 $ \triangle BCQ $,连接 $ PQ $.若 $ PA^{2} + PB^{2} = PC^{2} $,证明: $ \angle PQC = 90^{\circ} $.
(2) 如图②所示,$ P $ 是等腰直角三角形 $ ABC( \angle ABC = 90^{\circ}) $ 内的一点,连接 $ PA,PB,PC $,将 $ \triangle BAP $ 绕 $ B $ 点顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得 $ \triangle BCQ $,连接 $ PQ $.当 $ PA,PB,PC $ 满足什么条件时,$ \angle PQC = 90^{\circ} $? 请说明理由.

答案：
(1)由旋转得△BAP≌△BCQ，
∴PA=CQ，PB=BQ。又
∵∠PBQ=60°，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PB=PQ。又
∵PA²+PB²=PC²，且PA=CQ，
∴CQ²+PQ²=PC²，
∴△PQC为直角三角形，
∴∠PQC=90°。
(2)当PA，PB，PC满足2PB²+PA²=PC²时，∠PQC=90°，理由：由旋转得△BAP≌△BCQ，
∴PA=QC，PB=BQ。又
∵∠PBQ=90°，
∴△PBQ为等腰直角三角形，
∴PQ²=BQ²+PB²=2PB²，要使得∠PQC=90°，则QC²+PQ²=PC²，即2PB²+PA²=PC²，故当PA，PB，PC满足2PB²+PA²=PC²时，∠PQC=90°。