《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

15. (10分)如图,在$△ABC$中,AM 是$△ABC$的中线,MP 平分$∠AMB$,MQ 平分$∠AMC$,且$BP⊥MP$于点 P,$CQ⊥MQ$于点 Q.
(1)求$∠PMQ$的度数;
(2)求证:$MP= CQ.$

答案：
(1)
∵MP 平分∠AMB,MQ 平分∠AMC,
∴∠AMP=$\frac{1}{2}$∠AMB,∠AMQ=$\frac{1}{2}$∠AMC,
∴∠PMQ=∠AMP+∠AMQ=$\frac{1}{2}$∠AMB+$\frac{1}{2}$∠AMC=$\frac{1}{2}$(∠AMB+∠AMC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°;
(2)由
(1)得 MP⊥MQ,
∵BP⊥MP,
∴BP//QM,
∴∠PBM=∠QMC.
∵BP⊥MP,CQ⊥MQ,
∴∠BPM=90°,∠CQM=90°.
∵AM 是△ABC 的中线,
∴BM=MC.在△BMP 和△MCQ 中,{∠BPM=∠MQC,∠MBP=∠CMQ,BM=MC},
∴△BMP≌△MCQ(AAS),
∴MP=CQ.

16. (12分)新趋势 尺规作图 三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段,我们知道,三角形的 3 条高所在直线交于同一点.请应用这个结论解决以下问题:
(1)如图①,$△ABC$中,$∠A= 90^{\circ }$,则$△ABC$的三条高所在的直线交于点____.
(2)请仅用无刻度直尺按要求画图,不写画法,保留画图痕迹(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果).
①如图②,$△ABC$中,$∠ACB＞90^{\circ }$,已知两条高 CD,AE,请你画出$△ABC$的第三条高 BF;
②如图③,在给定的正方形网格中,$△ABC$的三个顶点均为格点,请你画出$△ABC$的高 BH.

答案：

(1)A;
(2)①如图①,BF 即为所作.②如图②,BH 即为所作.

17. (12分)将两个全等的$Rt△ABC和Rt△DBE$按图①方式摆放,其中$∠ACB= ∠DEB= 90^{\circ },∠A= ∠D= 30^{\circ }$,点 E 落在 AB 上,DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F.
(1)求证:$AF+EF= DE.$
(2)若将图①中的$△DBE$绕点 B 按顺时针方向旋转至图②所示,其他条件不变,直接写出(1)中的结论是否仍然成立.
(3)若将图②中的$△DBE$继续绕点 B 按顺时针方向旋转至图③所示,其他条件不变,你认为(1)中的结论还成立吗? 若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时 AF,EF 与 DE 之间的关系,并说明理由.

答案：
(1)在题图①中,连接 BF,由条件可知 BC=BE,AC=DE.在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中,{BF=BF,BC=BE},
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴CF=EF,
∴AF+EF=AF+CF=AC=DE;
(2)
(1)中的结论仍然成立;
(3)
(1)中的结论不成立,此时满足 AF-EF=DE.理由如下:在题图③中,连接 BF,在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中,{BF=BF,BC=BE},
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴CF=EF,
∴AF-FC=AC=DE,
∴AF-EF=DE.