《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

23. (8 分)如图,$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 6$,$BC= 8$,点$P从A点出发沿A\rightarrow C\rightarrow B$路径向终点运动,终点为$B$点;点$Q从B点出发沿B\rightarrow C\rightarrow A$路径向终点运动,终点为$A$点,点$P和Q$分别以每秒 1 和 3 的运动速度同时开始运动,两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过$P和Q作PE\perp l于E$、作$QF\perp l于F$,当点$P$运动多少秒时,以$P$,$E$,$C为顶点的三角形和以Q$,$F$,$C$为顶点的三角形全等?

答案： ①如图①,P在AC上,Q在BC上,则PC=6−t,QC=8−3t,
∵PE⊥l,QF⊥l,
∴∠PEC=∠QFC=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠EPC+∠PCE=90°,∠PCE+∠QCF=90°,
∴∠EPC=∠QCF;
∵△PCE≌△CQF,
∴PC=CQ,6−t=8−3t,t=1;②如图②,P在BC上,Q在AC上,则PC=t−6,QC=3t−8,由①知,PC=CQ,t−6=3t−8,t=1,当t=1时,t−6＜0,不符合题意;③如图③,当P,Q都在AC上时,CP=6−t=3t−8,t=7/2;④当Q到A点停止,P在BC上时,AC=PC,即t−6=6,t=12;⑤P和Q都在BC上的情况不存在.综上,当点P运动1秒或7/2秒或12秒时,以P,E,C为顶点的三角形和以Q,F,C为顶点的三角形全等

24. (8 分)已知$\triangle ABC$为等边三角形,点$D为AC$上的一个动点,点$E为BC$延长线上一点,且$BD= DE$.
(1)如图①,若点$D在边AC$上,猜想线段$AD与CE$之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,若点$D在AC$的延长线上,猜想(1)中的结论是否成立,并说明理由.

答案：
(1)猜想：AD=CE。
证明：过点D作DF//BC交AB于点F。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC。
∵DF//BC，
∴∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AF=AD=FD，∠AFD=60°，
∴∠BFD=180°-60°=120°。
∵AB=AC，AF=AD，
∴BF=CD。
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠E。
∵DF//BC，
∴∠FDB=∠DBE，
∴∠FDB=∠E。
∵∠DCE=180°-∠ACB=120°，
∴∠BFD=∠DCE。
在△BFD和△DCE中，∠FDB=∠E，∠BFD=∠DCE，BF=CD，
∴△BFD≌△DCE(AAS)，
∴FD=CE，
∵FD=AD，
∴AD=CE。
(2)结论仍然成立，即AD=CE。
证明：过点D作DF//BC交AB的延长线于点F。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC。
∵DF//BC，
∴∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AF=AD=FD，∠F=60°。
∵AB=AC，AF=AD，
∴BF=CD。
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠E。
∵DF//BC，
∴∠FDB=∠DBE，
∴∠FDB=∠E。
∵∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠F=∠DCE。
在△BFD和△DCE中，∠FDB=∠E，∠F=∠DCE，BF=CD，
∴△BFD≌△DCE(AAS)，
∴FD=CE，
∵FD=AD，
∴AD=CE。