《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

25. (10分)某超市准备购进A,B两种商品,购进3件A种商品、4件B种商品需要270元;购进5件A种商品、2件B种商品需要310元.该超市将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.
(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元?
(2)该超市计划用不超过1560元的资金购进A,B两种商品共40件,其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半,该超市有几种进货方案?
(3)端午节期间,该超市开展优惠促销活动,决定对每件A种商品售价优惠$m(10\lt m\lt20)$元,B种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出m的不同取值范围内,销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.

答案：
(1)设A种商品和B种商品的进价分别是a元/件、b元/件,则$\begin{cases}3a + 4b = 270\\5a + 2b = 310\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 50\\b = 30\end{cases}$，故A种商品和B种商品的进价分别是50元/件、30元/件.
(2)设A种商品购进n件,则$\begin{cases}50n + 30(40 - n) \leq 1560\\n \geq \frac{1}{2}(40 - n)\end{cases}$，解得$13\frac{1}{3} \leq n \leq 18$，
∴n=14,15,16,17,18,
∴共有5种进货方案.
(3)设总利润为w元,购进A种商品x件,则w=(80−m−50)x+(45−30)(40−x)=(15−m)x+600(14≤x≤18且x为整数).
∵10＜m＜20,当10＜m＜15时,w随x的增大而增大,
∴当x=18时,w取最大值,此时购进A种商品18件,B种商品22件获得总利润最大;当m=15时,w恒等于600,怎样进货利润都不变;当15＜m＜20时,w随x的增大而减小,
∴当x=14时,w取最大值,此时购进A种商品14件,B种商品26件获得总利润最大.

26. (10分)如图,正比例函数$y = \frac{3}{4}x与一次函数y = ax + 7的图象相交于点P(4,n)$,过点$A(t,0)$作x轴的垂线l,且$0\lt t\lt4$,l交一次函数的图象于点B,交正比例函数的图象于点C,连接OB.
(1)求a的值.
(2)设$\triangle OBP$的面积为S,求S与t之间的函数表达式.
(3)当$t = 2$时,在正比例函数$y = \frac{3}{4}x与一次函数y = ax + 7$的图象上分别有一动点M,N,是否存在点M,N,使$\triangle CMN$是等腰直角三角形,且$\angle CNM = 90^{\circ}$?若存在,请直接写出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)
∵点P(4,n)在y=$\frac{3}{4}$x的图象上,
∴n=$\frac{3}{4}$×4=3,
∴P(4,3).
∵点P(4,3)在y=ax+7的图象上,
∴4a+7=3,解得a=−1.
(2)如图①,过点P作PD⊥l于点D.
∵a=−1,
∴一次函数表达式为y=−x+7.
∵过点A(t,0)作x轴的垂线l,交y=−x+7的图象于点B,交y=$\frac{3}{4}$x的图象于点C,
∴B(t,−t+7),C(t,$\frac{3}{4}$t).
∵0＜t＜4,P(4,3),
∴BC=−t+7−$\frac{3}{4}$t=−$\frac{7}{4}$t+7,OA+PD=4,
∴S=S△OBC+S△PBC=$\frac{1}{2}$·BC·OA+$\frac{1}{2}$·BC·PD=−$\frac{7}{2}$t+14.
(3)存在点M,N使△CMN是等腰直角三角形,且∠CNM=90°,此时M($\frac{11}{2}$,$\frac{33}{8}$),N($\frac{39}{16}$,$\frac{73}{16}$)或M($\frac{20}{3}$,5),N($\frac{73}{12}$,$\frac{11}{12}$).　　[解析]①如图②,当点N在直线y=$\frac{3}{4}$x上方时，过点N作x轴的平行线,分别过点C,M作该平行线的垂线,垂足为点Q,E.
∵△CMN是等腰直角三角形,∠CNM=90°,
∴CN=MN,
∴∠ENM+∠CNQ=90°.
∵∠QCN+∠CNQ=90°,
∴∠QCN=∠ENM,可得△QCN≌△ENM(AAS),
∴EN=QC,EM=QN.
∵t=2,
∴C(2,$\frac{3}{2}$).设M(m,$\frac{3}{4}$m),N(n,−n+7),
∴EN=m−n,QC=−n+7−$\frac{3}{2}$=−n+$\frac{11}{2}$,QN=n−2,EM=−n+7−$\frac{3}{4}$m,
∴$\begin{cases}m - n = -n + \frac{11}{2}\\-n + 7 - \frac{3}{4}m = n - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{11}{2}\\n = \frac{39}{16}\end{cases}$，
∴$\frac{3}{4}$m=$\frac{33}{8}$，−n+7=$\frac{73}{16}$，
∴M($\frac{11}{2}$,$\frac{33}{8}$),N($\frac{39}{16}$,$\frac{73}{16}$).②如图③,当点N在直线y=$\frac{3}{4}$x下方时,过点N作x轴的平行线,分别过点C,M作该平行线的垂线,垂足为点H,G,同理可得CH=NG,HN=MG.设M(m,$\frac{3}{4}$m),N(n,−n+7),
∴CH=$\frac{3}{2}$−(−n+7)=n−$\frac{11}{2}$,NG=m−n,HN=n−2,MG=$\frac{3}{4}$m−(−n+7)=$\frac{3}{4}$m+n−7,
∴$\begin{cases}n - \frac{11}{2} = m - n\\n - 2 = \frac{3}{4}m + n - 7\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{20}{3}\\n = \frac{73}{12}\end{cases}$，
∴$\frac{3}{4}$m=5，−n+7=$\frac{11}{12}$，
∴M($\frac{20}{3}$,5),N($\frac{73}{12}$,$\frac{11}{12}$).
综上所述，存在点M,N使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90°,此时M($\frac{11}{2}$,$\frac{33}{8}$),N($\frac{39}{16}$,$\frac{73}{16}$)或M($\frac{20}{3}$,5),N($\frac{73}{12}$,$\frac{11}{12}$).