《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

23. (8分)如图,直线$y = -\frac{2}{3}x + 2$与x轴、y轴分别交于A,B两点,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰$Rt\triangle ABC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$.点$P(1,a)$为坐标系中的动点.
(1)求$S_{\triangle ABC}$;
(2)请说明不论a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数;
(3)要使得$\triangle ABC和\triangle ABP$的面积相等,求实数a的值.

答案：
(1)在y=−$\frac{2}{3}$x+2中令x=0,得点B坐标为(0,2).令y=0,得点A坐标为(3,0).由勾股定理可得AB²=13.
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴S△ABC=$\frac{AB·AC}{2}$=$\frac{AB²}{2}$=$\frac{13}{2}$.
(2)不论a取任何实数,三角形BOP都以BO=2为底,点P到y轴的距离1为高,
∴S△BOP=1,为常数.
(3)当点P在第四象限时:
∵S△ABO=3,S△APO=−$\frac{3}{2}$a,S△BOP=1,
∴S△ABP=S△ABO+S△APO−S△BOP=S△ABC=$\frac{13}{2}$,即3−$\frac{3}{2}$a−1=$\frac{13}{2}$,解得a=−3.
当点P在第一象限且在直线AB上方时:
∵S△ABO=3,S△APO=$\frac{3}{2}$a,S△BOP=1,
∴S△ABP=S△BOP+S△APO−S△ABO=$\frac{13}{2}$,即1+$\frac{3}{2}$a−3=$\frac{13}{2}$,解得a=$\frac{17}{3}$.
当点P在第一象限且在直线AB下方时:
∵S△AOB=3,S△APO=$\frac{3}{2}$a,S△BOP=1,
∴S△ABP=S△ABO−S△BOP−S△APO=$\frac{13}{2}$,即3−1−$\frac{3}{2}$a=$\frac{13}{2}$,解得a=−3,与点P在第一象限矛盾，舍去.
当点P在直线AB上时,A,B,P三点共线,不符合题意.
综上所述，实数a的值为−3或$\frac{17}{3}$.

24. (8分)新题型新定义【了解概念】将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线,叫该定点的“友好线”.若点$P(1,0)$,则点P的“友好线”可记为$y = k(x - 1)$.
【理解运用】(1)已知点A的“友好线”可记为$y = kx - 3k + \sqrt{3}$,则点A的坐标为____(3,$\sqrt{3}$);
(2)若点$B(3,2)$的“友好线”恰好经过点$(1,1)$,求该“友好线”的表达式;
由题意可得点B所在直线的表达式为y=k(x−3)+2,将(1,1)代入y=k(x−3)+2,得1=−2k+2,解得k=$\frac{1}{2}$,∴该“友好线”的表达式为y=$\frac{1}{2}$(x−3)+2.
【拓展提升】(3)已知点M在点Q的“友好线”$y = k(x + 2) - 1$上,点N在直线$y = -\frac{1}{3}x + 2$上,若$M(a,m)$,$N(a,n)$,且当$-3\leqslant a\leqslant3$时,$m\leqslant n$,请直接确定k的取值范围.−4≤k≤$\frac{2}{5}$

答案：
(1)(3,$\sqrt{3}$)　　[解析]
∵y=kx−3k+$\sqrt{3}$=k(x−3)+$\sqrt{3}$,
∴点A的坐标为(3,$\sqrt{3}$).
(2)由题意可得点B所在直线的表达式为y=k(x−3)+2,将(1,1)代入y=k(x−3)+2,得1=−2k+2,解得k=$\frac{1}{2}$,
∴该“友好线”的表达式为y=$\frac{1}{2}$(x−3)+2.
(3)−4≤k≤$\frac{2}{5}$.　　[解析]由题意,得当−3≤x≤3时,直线y=k(x+2)−1在直线y=−$\frac{1}{3}$x+2下方,把x=−3代入y=−$\frac{1}{3}$x+2,得y=3,把x=3代入y=−$\frac{1}{3}$x+2,得y=1,
∴直线y=−$\frac{1}{3}$x+2经过点(−3,3),(3,1).把(−3,3)代入y=k(x+2)−1,得k=−4,把(3,1)代入y=k(x+2)−1,得5k−1=1,解得k=$\frac{2}{5}$.
∵直线y=k(x+2)−1经过定点(−2,−1),
∴当k＜0时,k=−4为临界,如图①;当k＞0时,k=$\frac{2}{5}$为临界,如图②,且当k=0时,y=−1＜1,满足题意.综上,−4≤k≤$\frac{2}{5}$时满足题意.