《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

23. (8分)学习“一次函数”时,我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质.尝试用你积累的经验和方法,研究函数 $ y = -|x| + 1 $ 的图象和性质,并解决问题.
(1)从数的角度,①当 $ x = 0 $ 时, $ y = -x + 1 $;②当 $ x ＞ 0 $ 时, $ y = -x + 1 $;③当 $ x ＜ 0 $ 时, $ y = -|x| + 1 = $______.显然,②和③均为某个一次函数的一部分.
(2)从形的角度,我们尝试在右面给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象:
①列表:(完成表格)
| $ x $|…|-3|-2|-1|0|1|2|3|…|
| $ y $|…|-2| |0|1|0|-1| |…|
②描点,连线.
(3)对于函数 $ y = -|x| + 1 $,有以下结论:
①该函数图象关于 $ y $ 轴对称;②该函数有最大值;③ $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
其中正确的有______.(填序号)
(4)①方程 $ -|x| + 1 = -2 $ 有______个解;
②若关于 $ x $ 的方程 $ k = -|x| + 1 $ 无解,则 $ k $ 的取值范围是______;
③函数 $ y_1 = kx + b(k \neq 0) $ 与 $ y = -|x| + 1 $ 的图象相交于 $ (-2, -1) $, $ (4, -3) $ 两点,当 $ y_1 ＞ y $ 时, $ x $ 的取值范围是______.

答案：

(1)$x+1$
(2)①-1 -2 【解析】当$x = -2$时，$y = x + 1 = -2 + 1 = -1$；当$x = 3$时，$y = -x + 1 = -3 + 1 = -2$。
②如图①。
(3)①②
(4)①2 【解析】由图象可知，方程$-|x| + 1 = -2$有2个解。
②$k＞1$ 【解析】如图②，当$k＞1$时，函数$y = -|x| + 1$的图象与直线$y = k$没有交点，
∴若关于x的方程$k = -|x| + 1$无解，
∴k的取值范围是$k＞1$。
③$x ＜ -2$或$x ＞ 4$ 【解析】函数$y_{1}=kx+b(k≠0)$与$y = -|x| + 1$的图象相交于$(-2,-1),(4,-3)$两点，如图②，由图象可知，当$y_{1}＞y$时，x的取值范围是$x ＜ -2$或$x ＞ 4$。

24. (12分)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1: y = -x + 5 $ 与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别交于点 $ A $, $ B $,直线 $ l_2: y = mx - m + 4(m \neq -1) $ 与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别交于点 $ C $, $ D $,点 $ P(2, n) $ 在直线 $ l_2 $ 上.
(1)直线 $ y = mx - m + 4 $ 过定点 $ M(1, 4) $ 吗? 过(填“过”或“不过”).
(2)若点 $ B $, $ O $ 关于点 $ D $ 对称,求此时直线 $ l_2 $ 的表达式.$y = \frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$
(3)若直线 $ l_2 $ 将 $ \triangle AOB $ 的面积分为 $ 1:4 $ 两部分,请求出 $ m $ 的值.4或$-\frac{16}{11}$
(4)当 $ m = 1 $ 时,将点 $ P(2, n) $ 向右平移2.5个单位长度得到点 $ N $,当线段 $ PN $ 沿直线 $ y = mx - m + 4 $ 向下平移时,请直接写出线段 $ PN $ 扫过 $ \triangle AOB $ 内部(不包括边界)的整点(横、纵坐标都是整数的点)的坐标.$(1,2),(1,3)$

答案：
(1)过 【解析】
∵$y = mx - m + 4 = m(x - 1) + 4(m≠ - 1)$，
∴当$x = 1$时，$y = 4$，
∴直线$y = mx - m + 4$过定点$M(1,4)$。
(2)在$y = -x + 5$中，令$x = 0$，则$y = 5$，
∴$B(0,5)$。
∵点B，O关于点D对称，
∴$D(0,\frac{5}{2})$。将点D的坐标代入$y = mx - m + 4$，得$\frac{5}{2} = -m + 4$，解得$m = \frac{3}{2}$，
∴$y = \frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$。
(3)在$y = -x + 5$中，令$y = 0$，则$x = 5$，
∴$A(5,0),OA = 5$。
∵$B(0,5)$，
∴$OB = 5$，
∴$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}$。
∵直线$y = mx - m + 4$过定点$M(1,4)$，直线$y = -x + 5$过点$M(1,4)$，
∴两直线的交点为$M(1,4)$，点M到y轴的距离为1，到x轴的距离为4。①当$S_{\triangle MBD}=\frac{1}{5}S_{\triangle AOB}$时，$\frac{1}{2}BD×1=\frac{25}{2}×\frac{1}{5}$，解得$BD = 5$。
∵$OB = 5$，
∴$D(0,0)$，
∴$-m + 4 = 0$，解得$m = 4$。②当$S_{\triangle MAC}=\frac{1}{5}S_{\triangle AOB}$时，$\frac{1}{2}AC×4=\frac{25}{2}×\frac{1}{5}$，解得$AC=\frac{5}{4}$。
∵$5-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$，
∴$C(\frac{15}{4},0)$，
∴$0=\frac{15}{4}m - m + 4,\frac{11}{4}m=-4$，解得$m = -\frac{16}{11}$。综上，m的值为4或$-\frac{16}{11}$。
(4)$(1,2),(1,3)$ 【解析】当$m = 1$时，直线$l_{2}$的表达式为$y = x + 3$，
∴$n = 2 + 3 = 5$。将点$P(2,5)$向右平移2.5个单位长度得到点N，
∴$PN = 2.5$，$\triangle AOB$内部（不包括边界）的整点有$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)$。在$y = x + 3$中，当$y = 1$时，$x = -2$。
∵$1 + 2 = 3＞2.5,2 + 2 = 4＞2.5,3 + 2 = 5＞2.5$，
∴当线段PN沿直线$y = x + 3$向下平移时，线段PN不扫过$\triangle AOB$内部（不包括边界）的整点$(1,1),(2,1),(3,1)$；在$y = x + 3$中，当$y = 2$时，$x = -1$，
∵$1 + 1 = 2＜2.5,2 + 1 = 3＞2.5$，
∴当线段PN沿直线$y = x + 3$向下平移时，线段PN扫过$\triangle AOB$内部（不包括边界）的整点$(1,2)$；当$y = 3$时，$x = -2$，
∵$1 + 0 = 1＜2.5$，
∴当线段PN沿直线$y = x + 3$向下平移时，线段PN扫过$\triangle AOB$内部（不包括边界）的整点$(1,3)$。