《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

8. 如图,在$△ABC$中,$AB = 8$,$AC = 5$,直线m是$△ABC$中BC边的垂直平分线,P是直线m上的一动点,则$△APC$的周长最小值是13.

答案： 13

9. 如图,在五边形ABCDE中,$△ACD$为等边三角形.若$AB = DE$,$BC = AE$,$∠E = 125^{\circ}$,则$∠BAE$的度数为____115°.

答案： 115°

10. 如图,已知线段AB和直线m,点A在直线m上,且$∠BAC ≠ 60^{\circ}$,以AB为一边作等腰$△ABC$,且使点C在直线m上,这样的等腰三角形的个数为4.

答案： 4

11. 如图,已知$△ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,O为AB的中点,点E在BC上,且$CE = AC$,$∠BAE = 15^{\circ}$,则$∠COE = $75$^{\circ}$.

答案： 75

12. (2024·苏州期中)如图,AC,BD在AB的同侧,点M为线段AB的中点,$AC = 2$,$BD = 8$,$AB = 8$,若$∠CMD = 120^{\circ}$,则CD的最大值为____14.

答案： 14

13. (10分)新趋势尺规作图现计划在A,B两村之间新建一所学校P,A,B两村坐落在两条相交公路CD,CE旁(如图所示).学校P必须满足下列条件:①到两条公路CD,CE的距离相等;②到A,B两村的距离也相等.请确定该学校P的位置.(要求尺规作图并保留作图痕迹,不要求写出画法)

答案：
如图所示,点P即为所求.

14. (12分)如图,在$△ABC$中,$AB = AC$,D是BC的中点,过A点的直线$EF// BC$,且$AE = AF$,求证:$DE = DF$.

答案： 连接AD.
∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵EF//BC,
∴AD⊥EF.又AE=AF,
∴AD垂直平分EF,
∴DE=DF.

15. (14分)如图,在$△ABC$中,$AB ＞ AC$,$∠B = 45^{\circ}$,点D是BC边上一点,且$AD = AC$,过点C作$CF⊥AD$于点E,与AB交于点F.
(1)若$∠CAD = α$,求$∠BCF$的度数(用含α的式子表示);
(2)求证:$CA = CF$.

答案：
(1)∠BCF的度数为$\frac{1}{2}$α；
(2)证明：
∵∠B=45°，AG⊥BC，
∴∠BAG=45°.
∵∠BAC=45°+∠CAG，∠AFC=45°+∠BCF，∠BCF=∠DAG，∠DAG=∠CAG，
∴∠BAC=∠AFC，
∴CA=CF.