《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

8.$\triangle BDE和\triangle FGH$是两个全等的等边三角形,将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内,若求五边形DECHF的周长,则只需知道A
A.$\triangle ABC$的周长
B.$\triangle AFH$的周长
C.$\triangle BDE或\triangle FGH$的周长
D.四边形ADEC的周长

答案： A 【解析】$\because \angle FHG=60^{\circ}$,$\therefore \angle AHF+\angle CHG=120^{\circ}$,同理$\angle AHF+\angle AFH=120^{\circ}$,$\therefore \angle CHG=\angle AFH$.由题中条件得$FH=GH$,$\angle A=\angle C$,$\therefore \triangle CGH\cong \triangle AHF(\text{AAS})$,$\therefore CH=AF$,$\therefore DF+CH+EC=DF+AF+EC=DA+EC$.又$\because \triangle BDE$和$\triangle FGH$是两个全等的等边三角形,$\therefore FH=DE=BD=BE$,$\therefore FH+DE=BD+BE$,$\therefore$ 五边形DECHF的周长$=(DF+CH+EC)+(FH+DE)=DA+EC+BD+BE=AB+BC$.又$\because \triangle ABC$为等边三角形,$\therefore$ 五边形DECHF的周长$=2AB$,$AB=\frac{1}{3}\triangle ABC$的周长,故我们只需要知道$\triangle ABC$的周长即可.故选A.

9.如图,将两个完全相同的含有$30^{\circ}$角的三角尺拼接在一起,则拼接后的$\triangle ABD$的形状是等边三角形.

答案： 等边三角形 【解析】$\because \angle BAD=\angle B=\angle D=60^{\circ}$,$\therefore \triangle ABD$是等边三角形.

10.如图,$AB = AE,BC = DE$,要使$\triangle ABC \cong \triangle AED$,还需添加的条件是$\angle B=\angle E$.(只需填一个)

答案： 答案不唯一,如:$\angle B=\angle E$ 【解析】添加$\angle B=\angle E$,可根据SAS判定$\triangle ABC\cong \triangle AED$.

11.在$\triangle ABC$中,$AB = c,AC = b,BC = a$,当a,b,c满足$a^{2}+c^{2}=b^{2}$时,$\angle B = 90^{\circ}$.

答案： $a^{2}+c^{2}=b^{2}$ 【解析】$\because a^{2}+c^{2}=b^{2}$时,$\triangle ABC$是以AC为斜边的直角三角形,$\therefore$ 当a,b,c满足$a^{2}+c^{2}=b^{2}$时,$\angle B=90^{\circ}$.

12.如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC,\angle A = 30^{\circ}$,直线$a // b$,点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E,如果$\angle 1 = 145^{\circ}$,那么$\angle 2$的度数是$40^{\circ}$.

答案： $40^{\circ}$ 【解析】$\because AB=AC$,且$\angle A=30^{\circ}$,$\therefore \angle ACB=75^{\circ}$.在$\triangle ADE$中,$\because \angle 1=\angle A+\angle AED=145^{\circ}$,$\therefore \angle AED=145^{\circ}-30^{\circ}=115^{\circ}$.$\because a// b$,$\therefore \angle AED=\angle 2+\angle ACB$,$\therefore \angle 2=115^{\circ}-75^{\circ}=40^{\circ}$.

13.小成编写了一个程序:输入$x \to x^2 \to立方根\to倒数\to算术平方根\to \frac{1}{2}$,则x为$\pm 8$.

答案： $\pm 8$ 【解析】根据题意,得$\sqrt{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}=\frac{1}{2}$,则$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}=\frac{1}{4}$,$x^{2}=64$,$x=\pm 8$.

14.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,E是AC上一点,且$\angle 1 = \angle 2$,DE垂直平分AB,垂足是D,则$S_{\triangle AED} : S_{\triangle ABC} = $$1:3$.

答案： $1:3$ 【解析】$\because DE$垂直平分AB,$\therefore AD=BD$,$\therefore S_{\triangle ADE}=S_{\triangle BDE}$.$\because \angle 1=\angle 2$,$\angle C=\angle BDE=90^{\circ}$,$BE=BE$,$\therefore \triangle BDE\cong \triangle BCE(\text{AAS})$,$\therefore S_{\triangle BDE}=S_{\triangle BCE}$,$\therefore S_{\triangle AED}:S_{\triangle ABC}=1:3$.

15.新情境(2025·贵港模拟)如图所示为雷达图,规定:1个单位长度代表100m,以点O为原点,过数轴上的每一刻度点画同心圆,并将同心圆平均分成十二份.一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A,B两处鱼群,那么A,B两处鱼群的距离是500 m.

答案： $500\ \text{m}$ 【解析】连接AB,由题意得,同心圆平均分成十二份,则每三等份即为$360^{\circ}÷ 12× 3=90^{\circ}$,$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$,又1个单位长度代表$100\ \text{m}$,$\therefore OA=300\ \text{m}$,$OB=400\ \text{m}$,$\therefore$ 根据勾股定理可得,在$\text{Rt}\triangle AOB$中,$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=500\ \text{m}$.

16.如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把点B折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,则$\angle HBC$的度数为$15^{\circ}$.

答案： $15^{\circ}$ 【解析】$\because MN$垂直平分AD,$\therefore DH=AH$.由翻折的性质可知$AH=AB$.$\because$ 四边形ABCD是正方形,$AB=AD$,$\therefore AH=AD=DH$,$\therefore \triangle ADH$是等边三角形,$\therefore \angle DAH=60^{\circ}$,$\therefore \angle HAB=30^{\circ}$.$\because AB=AH$,$\therefore \angle ABH=\frac{1}{2}× (180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ}$,$\therefore \angle HBC=\angle ABC-\angle ABH=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$.

17.(2025·盘锦模拟)定义:连接平面内的一点P与$\triangle ABC$的边上的各点的所有线段中,最短的线段的长度为点P到$\triangle ABC$的距离,记为$D(P,\triangle ABC)$,当点P在$\triangle ABC$边上时,规定$D(P,\triangle ABC) = 0$.若$\triangle ABC$是边长为2的等边三角形,则满足$D(P,\triangle ABC) \leq 1$的所有点P覆盖的图形的面积是.

答案：
$6+\sqrt{3}+\pi$ 【解析】当$D(P,\triangle ABC)\leqslant 1$时,图形如图,$\therefore S=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^{2}+\frac{120^{\circ}× \pi× 1^{2}}{360^{\circ}}+3× 1× 2=6+\sqrt{3}+\pi$.