《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

21. (6 分)(2025·西安模拟)冬至是我国重要的传统节气之一,民间流传着谚语“冬至不端饺子碗,冻掉耳朵没人管”.某饭店准备了虾仁、羊肉两种饺子共 200 斤进行销售,其中虾仁饺子的数量不高于羊肉饺子数量的一半.已知虾仁饺子的利润为 9 元/斤,羊肉饺子的利润为 5 元/斤.设准备了虾仁饺子 $ m $($ m $ 为正整数)斤,这 200 斤饺子的销售总利润为 $ w $ 元(假设这 200 斤饺子均可售出).
(1)求 $ w $ 与 $ m $ 之间的函数表达式.
(2)该饭店如何准备这两种饺子的数量,才能获利最大?

答案：
(1)由题意知,准备了虾仁饺子m(m为正整数)斤,
∴准备了羊肉饺子(200-m)斤,
∴销售总利润为w=9m+5(200-m)=4m+1000.
(2)已知虾仁饺子的数量不高于羊肉饺子数量的一半,
∴m≤1/2(200-m),解得m≤66 2/3.
∵w=4m+1000,
∴w随m的增大而增大.
∵m为正整数,
∴当m=66时,w有最大值,w_最大=4×66+1000=1264.
∴200-66=134(斤).答:该饭店准备虾仁饺子66斤,羊肉饺子134斤时,才能使获利最大.

22. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,点 $ A(2,m) $ 在直线 $ y = 2x - 3 $ 上,过点 $ A $ 的直线交 $ y $ 轴于点 $ B(0,3) $.
(1)求 $ m $ 的值和直线 $ AB $ 的函数表达式;
(2)若点 $ P(t,y_1) $ 在直线 $ AB $ 上,点 $ Q(t + 1,y_2) $ 在直线 $ y = 2x - 3 $ 上,判断 $ 2y_1 + y_2 $ 的值是否随 $ t $ 的变化而变化,若不变,求出这个值;若变化,求出它的取值范围.
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答案： 1. （1）
求$m$的值：
因为点$A(2,m)$在直线$y = 2x−3$上，将$x = 2$代入$y = 2x−3$中，根据函数值的计算方法$y=2×2 - 3$。
计算可得$y=4 - 3=1$，所以$m = 1$，则$A(2,1)$。
求直线$AB$的函数表达式：
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx + b(k\neq0)$。
把$A(2,1)$，$B(0,3)$代入$y = kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}2k + b=1\\b = 3\end{cases}$。
将$b = 3$代入$2k + b=1$，得$2k+3 = 1$。
移项可得$2k=1 - 3=-2$，解得$k=-1$。
所以直线$AB$的函数表达式为$y=-x + 3$。
2. （2）
因为点$P(t,y_1)$在直线$AB:y=-x + 3$上，所以$y_1=-t + 3$。
因为点$Q(t + 1,y_2)$在直线$y = 2x−3$上，所以$y_2=2(t + 1)-3$。
展开$y_2=2(t + 1)-3$得$y_2=2t+2 - 3=2t - 1$。
计算$2y_1 + y_2$的值：
把$y_1=-t + 3$，$y_2=2t - 1$代入$2y_1 + y_2$，得$2(-t + 3)+(2t - 1)$。
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，$2(-t + 3)+(2t - 1)=-2t+6 + 2t - 1$。
合并同类项$(-2t+2t)+(6 - 1)=5$。
综上，（1）$m = 1$，直线$AB$的函数表达式为$y=-x + 3$；（2）$2y_1 + y_2$的值不随$t$的变化而变化，值为$5$。

23. (8 分)(2023·淮安中考)快车和慢车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快车到达乙地卸装货物用时 30 min,结束后,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与慢车相遇,已知慢车的速度为 $ 70 km/h $.两车之间的距离 $ y(km) $ 与慢车行驶的时间 $ x(h) $ 的函数图象如图所示.
(1)请解释图中点 $ A $ 的实际意义;
(2)求图中线段 $ AB $ 所表示的函数表达式;
(3)两车相遇后,如果快车以返回的速度继续向甲地行驶,求到达甲地还需多长时间.
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答案： 1. （1）
点$A$的实际意义：快车在慢车行驶$3h$时到达乙地。
2. （2）
解：
慢车速度$v_{慢}=70km/h$，设快车去时速度为$v_{快}$。
根据$3h$时两车距离$120km$，由$y=(v_{快}-v_{慢})x$，可得$120=(v_{快}-70)×3$。
解方程$120 = 3v_{快}-210$，$3v_{快}=120 + 210$，$v_{快}=110km/h$。
甲地到乙地的距离$s = 110×3=330km$。
$B$点横坐标$x = 3+\frac{30}{60}=3.5$，纵坐标$y = 120-70×0.5=120 - 35 = 85$，即$B(3.5,85)$，$A(3,120)$。
设线段$AB$的函数表达式为$y=kx + b$，把$A(3,120)$，$B(3.5,85)$代入得$\begin{cases}3k + b=120\\3.5k + b=85\end{cases}$。
用第一个方程减第二个方程：$(3k + b)-(3.5k + b)=120 - 85$，$3k + b-3.5k - b = 35$，$-0.5k=35$，解得$k=-70$。
把$k = - 70$代入$3k + b=120$，$3×(-70)+b=120$，$b=120 + 210=330$。
所以线段$AB$的函数表达式为$y=-70x + 330(3\leqslant x\leqslant3.5)$。
3. （3）
解：
$C$点横坐标$x = 4$，此时慢车行驶路程$s_{慢}=70×4 = 280km$，快车返回时与慢车的速度和$v=85÷(4 - 3.5)=170km/h$，则快车返回速度$v_{快返}=170 - 70=100km/h$。
两车相遇时，快车离甲地距离$s'=330-(170×(4 - 3.5))=330 - 85 = 245km$。
时间$t=\frac{245}{100}=2.45h$。
综上，（1）快车在慢车行驶$3h$时到达乙地；（2）$y=-70x + 330(3\leqslant x\leqslant3.5)$；（3）$2.45h$。