《2025年学霸提优大试卷八年级数学上册苏科版》

18. 如图,在四边形ABCD中,AB= 6,AD= BC= 3,E为AB边中点,且∠CED= 120°,则边DC长度的最大值为9.

答案： 9

19. (6分)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,CE平分∠ACD交AD于点E,若∠BAC:∠CAD= 3:2,∠DCE= 35°.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求∠B的度数.

答案：
(1)
∵CE平分∠ACD,
∴∠DCA=2∠DCE.
∵∠DCE=35°,
∴∠DCA=2∠DCE=2×35°=70°.
∵AD为BC边上的高,
∴∠ADB=90°,
∴∠CAD=90°-∠DCA=20°.
(2)
∵∠BAC:∠CAD=3:2,∠CAD=20°,
∴∠BAC=30°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=20°+30°=50°,
∴∠B=90°-∠BAD=90°-50°=40°.

20. (6分)如图,在△ABC中,∠C= 90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,AC= BE.
求证:直线DE是线段AB的垂直平分线.

答案：
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD.
∵DE⊥AB于点E,∠C=90°,
∴∠C=∠AED=90°.在△ACD和△AED中,$\left\{\begin{array}{l}\angle CAD=\angle BAD,\\ \angle C=\angle AED,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△AED(AAS),
∴AC=AE.
∵AC=BE,
∴AE=BE,
∴DE平分AB.又
∵DE⊥AB,
∴直线DE是线段AB的垂直平分线.

21. (8分)如图,在△ABC中,D为边BC上一点,E为边BA上一点,且AE= CD,连接AD,F为AD的中点.连接EF并延长,交AC于点G,在FG上截取点H,使FH= FE,连接GD,HD,若HG= CG.
(1)求证:△AEF≌△DHF;
(2)求证:∠B= 2∠GDC.

答案：
(1)
∵F为AD的中点,
∴AF=DF.在△AEF和△DHF中,$\left\{\begin{array}{l}AF=DF,\\ \angle AFE=\angle DHF,\\ FE=FH,\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DHF(SAS).
(2)
∵△AEF≌△DHF,
∴∠EAF=∠HDF,AE=DH,
∴DH//AB,
∴∠HDC=∠B.
∵AE=CD,
∴DH=CD.在△DHG和△DCG中,$\left\{\begin{array}{l}DH=CD,\\ HG=CG,\\ DG=DG,\end{array}\right.$
∴△DHG≌△DCG(SSS),
∴∠GDC=∠GDH,
∴∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC,
∴∠B=2∠GDC.